La ghiacciata dei dollari

Nel classico fumetto di Carl Barks, "Paperino e la ghiacciata dei dollari" ("The Big Bin Killmotor Hill'') [http://coa.inducks.org/story.php?c=W+WDC+135-02 (1951), http://it.paperpedia.wikia.com/wiki/Paperino_e_la_ghiacciata_dei_dollari/pdf],
Zio Paperone, cercando di difendere il suo denaro dai Bassotti, segue un suggerimento di Paperino, e riempie d'acqua il deposito.
Purtroppo, quella notte sarà la più fredda nella storia di Paperopoli.
L'acqua si ghiaccia, facendo scoppiare le "pareti spesse dieci piedi" del deposito,
e infine il gigantesco cubetto di ghiaccio e dollari scivola giù per la collina fermandosi nella proprietà della Banda Bassotti.
Che l'acqua si espanda quando congela è un fatto ben noto ed è un esperimento che è spesso eseguito
involontariamente usando bottiglie di birra e congelatori. E' il motivo per cui il ghiaccio galleggia.

Ma perché l'acqua si comporta in questo modo? E, cosa più difficile, come si può illustrare questo fenomeno in termini semplici?

Prima di tutto, bisogna ricordare che la temperatura è data dall'energia cinetica media delle molecole, che altrimenti rimangono nella configurazione di minima energia (in uno scenario classico). In generale, se si adotta un semplice modello "a palle" per gli atomi, la configurazione di minima energia è più compatta di quelle più a più alta energia (che sono quindi più disordinate). Ma questo non è il caso dell'acqua.
Una rappresentazione schematica della molecola d'acqua


Infatti, le molecole d'acqua assomigliano alla testa di Topolino, dove l'ossigeno è la faccia e le orecchie sono i due atomi di idrogeno. È difficile disegnare la struttura cristallina dell'acqua, dal momento che è intrinsecamente tridimensionale, ma si può utilizzare il modello "Mercedes Benz" per ciò [
K.A.T. Silverstein, A.D.J. Haymet, K.A. Dill, A Simple Model of Water and the Hydrophobic Effect, J. Am. Chem. Soc. 120, 3.166-3.175 (1998). doi:10.1021/ja973029k].
Le molecole d'acqua nel modello Mercedes-Benz

In questo modello, le molecole d'acqua sono rappresentate come il famoso simbolo della Mercedes-Benz, ed il minimo dell'energia si ottiene quando due "punte" si fronteggiano (è una versione non orientata del legame idrogeno). Non è difficile costruire delle molecole Mercedes-Benz
di cartone e lasciare che i partecipanti giochino con loro.
Acqua e ghiaccio nel modello Mercedes-Benz

Per mezzo di questo modello è ora facile far vedere che la configurazione di minima energia contiene molti "vuoti", e questo spiega la minore densità di ghiaccio rispetto all'acqua. Questo modello può anche servire per illustrare il fenomeno del ricongelamento (fusione sotto pressione e nuovo congelamento quando la pressione è ridotta [http://it.wikipedia.org/wiki/Ricongelamento]).

Tuttavia, al fine di avere una struttura di ghiaccio stabile, dobbiamo prima ridurre di molto l'energia cinetica delle molecole di acqua, e poi rimuovere anche la differenza di energia tra i legami Van der Waals e i legami idrogeno, cioè, dobbiamo estrarre calore. In termini macroscopici, il primo termine è chiamato capacità termica dell'acqua (calore specifico: C = 4,187 kJ / kg K), e il secondo calore latente di fusione (I = 334 kJ / kg). Se si vuole abbassare ulteriormente la temperatura del ghiaccio, si deve anche estrarre l'energia corrispondente al calore specifico di ghiaccio (2.108 kJ / kgK).

Nei fumetti di Carl Barks, Zio Paperone spesso afferma che il suo deposito di denaro è "grande tre ettari (nell'originale: acri) cubici". Questo è, ovviamente, un non-senso (l'acro è una unità di superficie).
Se assumiamo che ogni faccia del cubo è grande un acro (circa 4000 m2), abbiamo un lato di circa 60 m (plausibile, vedendo i disegni), ed un volume V di circa 200.000 m3. Non sono stato in grado di trovare la densità di un imballaggio casuale di monete (sembra che solo le sfere e i confetti M&M siano stati studiati [A. Donev, I. Cisse, D. Sachs, E.A. Varano, F.H. Stillinger, R. Connelly, S. Torquato, P.M. Chaikin, Improving the Density of Jammed Disordered Packings Using Ellipsoids Science 303, 990-993, doi:10.1126/science.1093010
]), così ho messo su un piccolo esperimento con 174 monete da 10c.

La densità risultante è circa 0,55, molto inferiore a quella dell'impacchettamento casuale delle sfere (0,64), ma ci sono
effetti importanti dovuti alla dimensione finita del contenitore. Questo permette di calcolare quanto sia ricco Paperone. Il volume di una moneta da 1 dollaro è circa 1,1 cm3, e considerando una densità 0,55, occupa un volume medio v = 2 cm3. Dividendo V per v, si ottengono circa 1011 dollari, ovvero cento miliardi.

La quantità totale di acqua è quindi W = 0,45
⋅2⋅105103 = 9⋅ 107 kg. Supponendo che inizialmente il denaro (e l'acqua) siano a una temperatura T = 10°C, la quantità totale di calore da rimuovere per ottenere ghiaccio a 0°C è W(CT + I) = 3,4⋅1013 J (trascurando la capacità termica delle monete - quella del rame/ottone è solo 0,4 kJ/kgK - e quella delle pareti, circa 0,8). Se il congelamento si verifica, per esempio, in 5 ore (trascurando il tempo necessario per la conduzione di calore), ciò significa una capacità di raffreddamento di 113 GW !

In effetti, il tempo necessario per raffreddare un corpo dipende il contatto termico tra il corpo e il serbatoio di calore. Il calcolo di cui sopra implica un perfetto contatto, con una superficie infinita tra i due mezzi, in modo che si possa semplicemente calcolare l'energia estratta divisa per il tempo per trovare la potenza (oppure, data la potenza, si può dividere l'energia per questa per trovare il tempo). Ma per un corpo compatto con una superficie limitata, dobbiamo aspettare che il calore fluisco dall'interno verso la superficie, in modo da poterlo rimuovere. E' il tipo di calcolo svolto da Kelvin quando cerca di stimare l'età della Terra considerandola come un corpo che si sta raffreddando

http://apps.usd.edu/esci/creation/age/content/failed_scientific_clocks/kelvin_cooling.html

http://www.arthurstinner.com/stinner/pdfs/2002-ageoftheearth.pdf

In conclusione: l
'acqua non si lascia congelare facilmente, e infatti si usa mettere dei bidoni pieni d'acqua vicino agli alberi da frutto per proteggerli dal gelo.

Infine, si può chiudere con una sfida: qual è la temperatura al fondo del mare?

Vediamo prima di analizzare il caso di acqua dolce (un lago profondo). Il massimo della densità dell'acqua, secondo il nostro modello, è un po' sopra lo zero (per l'acqua vera si tratta di 4 gradi). Sotto questa temperatura, strutture simili al ghiaccio (dovute ai legami idrogeno) sono comuni, abbassando la densità verso quella di ghiaccio. Al di sopra di questa temperatura le interazioni di Van der Waals dominano, e l'acqua si comporta più come un "liquido" standard. Quando c'è il sale le cose cambiano un po', il punto di congelamento si abbassa e così fa il massimo di densità dell'acqua. Alla fine, il risultato è che il fondo del mare è a circa 3 gradi.


Franco Bagnoli
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