Un barile di monete

Nella storia Zio Paperone e il miraggio reale [http://coa.inducks.org/story.php?c=I+TL++362-A] (1962) di Abramo Barosso, sceneggiatura di Giampaolo Barosso e disegni di Luciano Gatto, Paperone e Paperino si sfidano in una prova fisico/matematica: scegliere in quale barile c'è maggiore valore, se in quello che contiene piccole monete di rame o in quello con grosse monete d'argento.
Ho trovato questo problema e la citazione della storia su Fisicartoonia

https://web.infn.it/fisicartoonia/index.php/component/content/article/46/64-modello-barile-monete

a cura di Piero Patteri.

Un problema in qualche maniera simile si trova anche nella storia Zio Paperone e la tiritera della salvezza [http://coa.inducks.org/story.php?c=I+TL+1043-A] di Rodolfo Cimino, disegni di Massimo De Vita. In questo caso il problema è che Paperone ha appena finito di impilare i suoi innumerevoli talleri di Maria Teresa (esistono davvero: http://it.wikipedia.org/wiki/Tallero_di_Maria_Teresa)

quando il suono del campanello perturba l'ordine stabilito, le pile di talleri crollano e questo causa una valanga.
Il problema, connesso anche a quello relativo a quanto è ricco Zio Paperone? è: qual è la densità delle monete? come cambia con le loro dimensioni e con il loro stato di ordine?

Volendo tradurre il problema di Paperone in termini europei, la questione è: preferite un barile di monete da un centesimo o da due euro o qualche taglio intermedio?

Cominciamo la nostra analisi considerando le pile ordinate di Paperone. Qual è la densità delle monete ben ordinate?

Dato che si tratta di impilare le monete formando dei cilindri, il problema è semplicemente quello della migliore disposizione dei cerchi sul piano, problema risolto da Gauss [http://it.wikipedia.org/wiki/Impacchettamento_di_sfere#Impacchettamento_di_cerchi] con una disposizione esagonale, di densità (in due dimensioni) π / (2 √ 3) ≃ 0,9.


Come si vede, in questo caso la densità non dipende dalla dimensione delle monete. E' anche una densità piuttosto alta, visto che quella per sfere è π √ 18 ≃ 0,74.

Ma le monete sono di solito gettate alla rinfusa. Oggetti disordinati generano quello che si chiama impacchettamento casuale, che dipende sia dalla geometria degli oggetti, sia dalla distribuzione delle dimensioni, ovvero se sono tutti uguali o no. Per esempio, la ghiaia da giardino (forma rotondeggiante, abbastanza omogenea di diametro) è un mezzo che non si compatta bene, e infatti ci si affonda, e se lo si usa per riempire le buche di una strada, dura poco. Viceversa, lo stabilizzato è composto da materiale con angoli vivi, di diversa granulometria in modo che si compatti bene. Ma ovviamente conta anche la compressione, non a caso quando si stende lo stabilizzato ci si passa poi con il rullo. Nel caso delle monete o delle sfere dipende se le lasciamo semplicemente cadere così come sono o se scuotiamo il contenitore. Che lo scuotimento funzioni a compattare i mezzi granulari è una esperienza comune di quando versiamo il caffè o lo zucchero o il riso.

Per le sfere non cambia molto, la densità delle sfere lasciate cadere è 0,62, per quelle vibrate è 0,64 [http://it.wikipedia.org/wiki/Impacchettamento_casuale#Per_le_sfere], comunque molto meno di quello regolare.

Non sembra che ci siano stati studi accurati per le monete, sembra che solo le sfere e i confetti M&M siano stati studiati [A. Donev, I. Cisse, D. Sachs, E.A. Varano, F.H. Stillinger, R. Connelly, S. Torquato, P.M. Chaikin, Improving the Density of Jammed Disordered Packings Using Ellipsoids Science 303, 990-993, doi:10.1126/science.1093010])
Si può però fare riferimento all'articolo La simulazione di un barile di monete di Piero Patteri [https://web.infn.it/fisicartoonia/index.php/component/content/article/46/64-modello-barile-monete] in cui l'autore fa degli esperimenti con le rondelle e ottiene la curva qui riportata.
https://web.infn.it/fisicartoonia/index.php/component/content/article/46/64-modello-barile-monete
Purtroppo Piero non specifica quale è il volume del contenitore (vasetti in coccio). Ho fatto un esperimento preliminare con 300 monete da 10c, riempiendo un contenitore fino all'orlo di monete e poi aggiungendo acqua in modo da valutare (con la bilancia) il volume escluso. La densità risultante è circa 0,55, ma ci sono effetti importanti dovuti alla dimensione finita del contenitore. Infatti le monete tendono a essere orientate dalle pareti del contenitore, e questo determina l'apparizione di "pacchetti" di monete impilate. Bisogna che ripeta l'esperimento con più statistica e con varie dimensioni delle monete. Tra l'altro, l'esperimento con le monete è paradossalmente molto più economico che quello con le rondelle: dopo l'uso posso riportare le monete in banca e farmele cambiare...

Se i miei risultati sono veri, si capisce come il crollo delle pile ordinate dei talleri causi uno straripamento: le monete praticamente aumentano di un buon 64% il loro volume!

Comunque, dalla figura conteggio/volume riportata sopra sembra abbastanza evidente che la densità numerica n delle monete segua una legge iperbolica rispetto al volume del contenitore V, con n = a/V. Questo sarebbe consistente con quello che succede per l'impacchettamento regolare delle monete e delle sfere e con l'impacchettamento casuale delle sfere: la densità volumetrica non dipende dalle dimensioni delle monete (trascurando l'effetto dei bordi). Possiamo quindi usare le dimensioni delle monete [http://it.wikipedia.org/wiki/Monete_in_euro] per calcolare il loro volume v e la loro densità valutaria (valore/volume).

Valore  e

(€)

Diametro d

(mm)

Spessore s

(mm)

Volume v

(mm3)

Densità valutaria e/v

(€/mm3)

0,01

16.25

1.67

346.35

2,89⋅10-05

0,02

18,75

1,67

461,11

4,34⋅10-05

0,05

21,25

1,67

592,28

8,44⋅10-05

0,1

19,75

1,93

591,26

1,69⋅10-04

0,2

22,25

2,14

832,08

2,40⋅10-04

0,5

24,25

2,38

1099,23

4,55⋅10-04

1

23,25

2,33

989,22

1,01⋅10-03

2

25,75

2,2

1145,69

1,75⋅10-03


Come si vede, le monete da 2 € hanno una densità monetaria più grande. Lo si vede anche solo guardando le colonne del valore e del volume: gli incrementi di volume sono molto più piccoli degli incrementi di valore, e del resto l'esperienza comune di dice che è completamente diverso andare a comprare qualcosa portandosi dietro pochi pezzi da 2 € o una sacchettata di centesimini. Quindi, secondo me Paperino questa volta aveva ragione, e Paperone dovrebbe saperlo, dato che il suo deposito è pieno di monete da un dollaro, mica di quelle da 1 centesimo!

Per quanto riguarda la stima dell ricchezza di Paperone (si veda Quanto è ricco Paperone?), la faccenda potrebbe essere alquanto più difficile. Infatti, la densità monetaria potrebbe aumentare aggiungendo alle monete più grosse una certa percentuale di monete più piccole, che si vanno ad infilare negli interstizi, proprio come succede con lo stabilizzato. Si avrebbe un miscuglio molto più denso e compatto, e probabilmente Paperone avrebbe molta più difficoltà a fare il quotidiano bagno nelle monete.

Appena possibile farò i necessari esperimenti.

Si veda anche l'articolo "La forza dei granelli", di Umberto Marini Bettolo, Andrea Puglisi e Angelo Vulpiani, Le Scienze 408, 74 (2002)
http://tnt.phys.uniroma1.it/twiki/pub/TNTgroup/AngeloVulpiani/lescienze.pdf
e l'ottimo libro di Tommaso Castellani, Risolvere i problemi difficili. Sudoku, commessi viaggiatori e altre storie, Zanichelli (2013)

Franco Bagnoli
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