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Intervista impossibile a Max Born

pubblicato 9 apr 2020, 10:10 da Franco Bagnoli


Un gioco di dadi: "3000"

pubblicato 10 mar 2020, 15:11 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 10 mar 2020, 15:17 ]

Tanti anni fa vidi giocare in una birreria tedesca un gioco di dadi che probabilmente era una variante del Farkle (https://en.wikipedia.org/wiki/Farkle).

Il Farkle si gioca con 6 dadi, con due o più giocatori. Una volta stabilito l'ordine dei giocatori (tipicamente tirando un dado), ognuno ha l'opportunità di accumulare dei punti, a turno. Vince chi supera per primo 10000 punti o, in alcune varianti, chi arriva esattamente a 10000, come nel traguardo del gioco dell'oca. 

Le combinazioni che fanno vincere sono molteplici: ogni 1 vale 100 punti, i 5 valgono 50 punti, ma tre 1 sono 1000 punti, tre 2 sono 200 punti, tre 3 sono 300 punto e così via. Si continuano ad accumulare punti finché il giocatore decide di incassare o finché non fa nulla con i dadi giocati (perché non sempre si tirano tutti, come vedremo), nel qual caso perde tutto. Ad ogni turno il giocatore deve mettere da parte uno o più dadi tra quelli tirati che hanno fatto punteggio, il cui valore continua a sommare (ma dato che tira meno dadi la probabilità di perdere tutto - ovvero di fare "Farkle" - aumenta). Ci sono poi innumerevoli varianti. 

Dato che però io non capivo il tedesco, e inoltre ero in un tavolo distante, ho afferrato poco delle regole originali ed ho ri-elaborato una variante più semplice, che ho chiamato "3000" e che si gioca con soli tre dadi. 

Le regole sono simili a quelle del Farkle. Si gioca a turno e la soglia da raggiungere è 3000, anche se non ci si ferma necessariamente lì. Il punteggio dei dadi è dato primariamente da uno e sei (o meglio, da assi e re, visto che io preferisco giocare con i dadi da poker). 
Ogni asso/1 vale 100 punti, ma tre assi sono 600 punti. Ogni re/6 sono 50 punti, ma tre sei sono 300 punti. Inoltre, se tutti e tre i dadi sono uguali, si guadagnano 100 punti. 

Come nel Farkle, un giocatore può continuare ad accumulare punteggio finché non decide di smettere e conteggiare quanto guadagnato, o finché non fa niente nei dadi gettati. Ad ogni turno il giocatore può decidere di tenere uno o due dadi, il cui valore continua a sommarsi al totale, a patto che per tra i dadi gettati ce ne sia almeno uno che fa punteggio. 

Facciamo un esempio. Supponiamo che un giocatore ottenga 1-3-6. Sono 150 punti. Se tiene l'uno, e i dadi gettati danno 1-5 allora somma altri 200 punti, arrivando a 350. A questo punto potrebbe tenere i due 1, cercando l'altro 1 (e accumulando 600 punti) o almeno il 6 (sommando 250 punti), ma se esce 2,3,4 o 5 perde tutto. Oppure può ritirare tutti i dadi (o tenerne uno) oppure segnare il totale e passare la mano. 

Cosa succede quando uno arriva a 3000? Beh, chi è sopra 3000 può fermare il gioco (completando il turno), e a quel punto il giocatore che ha il punteggio più alto incassa dagli altri la differenza (in lire...). Quindi il gioco può prendere una piega molto pericolosa: se un giocatore usa una buona strategia e "prende il largo", può superare agevolmente i 3000 punti, e gli altri possono fermarlo solo arrivando a tale soglia. Ma quello che succede spesso è che, presi dalla disperazione, gli inseguitori che magari sono ancora sotto i 1000 punti, cerchino il "colpaccio" che li porti sostanzialmente vicini alla meta, e quindi eseguano una serie di lanci, accumulando punti, perdendo poi tutto perché incocciano nel lancio nullo. Ovviamente oggi i punti vanno visti come millesimi di euro (o centesimi se uno vuole giocare forte). 

Si tratta comunque di un gioco appassionante, e non è raro vedere punteggi di più di 1000 punti in un solo turno. La domanda fondamentale a questo punto è: qual è la migliore strategia per vincere? 

Ovviamente, dato che si tratta di un gioco senza memoria tra turno e turno, questo vuol dire: quale strategia permette di accumulare, in media, più punti per turno?

Non so fare l'analisi esaustiva del gioco, quindi ho pensato di scrivere un programma per confrontare, su una media di 10 milioni di turni, quale tra le strategie che ho elaborato permette di accumulare più punti. 

Le strategie che ho preso in esame sono basate sul numero dei lanci o sul punteggio. Quelle della prima classe sono:

CAMBIA-TUTTO(n), una strategia molto semplice, per cui il giocatore tira tutti i dadi per un numero di lanci (n) stabilito.
TIENI-A(n), che è come CAMBIA-TUTTO ma se compare un 1 (asso), viene tenuto tirando i due dadi rimanenti
TIENI-AA(n), lo stesso ma tiene i due assi 
TIENI-A-AA(n), tiene assi singoli e doppi

Ci sono poi strategia basate sul punteggio accumulato, ovvero:

FAI-ALMENO(x), che continua a tirare i dadi fino ad accumulare almeno il punteggio x, e poi segna
TIENI-A-FAI-ALMENO(x), una combinazione per cui si vuole accumulare almeno un punteggio x, ma se ci sono assi si tengono
FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(n, x), che smette se ha accumulato x o se il numero di lanci è uguale a n

Su quale puntate? 

Ecco i risultati.

 n CAMBIA-TUTTO TIENI-A TIENI-AA TIENI-A-AA
 1 79 79 79 79
 2 114 118 110 116
 3 124 115 107 102
 4 107 93 90 68

Ovviamente, se ci si limita ad un solo lancio, tutte queste strategie sono uguali (ma si vede come, su 10 milioni di turni, la variazione sia minore dell'unità). Quello che viene fuori è che non conviene tenere gli assi, e limitarsi a tre lanci favorevoli. 

Vediamo le altre. Questa volta la strategia si basa sul punteggio x

 x FAI-ALMENO TIENI-A-FAI-ALMENOFAI-ALMENO-MA-NON-PIU(1)FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(2) FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(3) FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(4)
 1009392 79 93 93 93
 200120 123 79113 120 120
 300 128 126 79 114 126 128
 400 124 120 79 114 125 126

Come si vede le strategie "FAI-ALMENO" sono tutte uguali se il limite è 100, tranne che quella che si limita ad un solo lancio che infatti è equivalente a quelle precedenti con un solo lancio. 

La strategia "FAI-ALMENO(3)" è quella vincente, e il confronto con "FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(4)" mostra che questo punteggio si accumula in circa quattro lanci. 

Quindi, concludendo, la strategia che vince questa competizione è quella: "ritira tutti i dadi finché non fai almeno 300 punti, quindi segna e passa". 

Avete altre strategie da proporre? 

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