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Soffiare sulle vele

pubblicato 26 dic 2020, 07:23 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 4 gen 2021, 09:51 ]

In una delle sue avventure (Oodles of the Oomph - Archimede Pitagorico Motonauta, Carl Barks 1960), Archimede tenta di spostarsi in barca soffiando sulle vele

e da buono conoscitori della terza legge di Newton diremmo che è impossibile.

Eppure i MithBusters mostrano che è possibile:

Come può essere? Hanno davvero "sbugiardato" Newton?

Come notano anche loro, avrebbero potuto viaggiare molto più velocemente spingendo direttamente la barca con il soffio del ventilatore. Ma in una barca spinta da un ventilatore, cosa è che spinge: il soffio all'indietro o l'aspirazione dell'aria alla "bocca" del ventilatore?

Questo è un problema che già Mach si era posto nel 1883. Un irrigatore rotante viene fatto ruotare dalla spinta dell'acqua che esce. Se invece l'acqua (o l'aria) fosse aspirata, ruoterebbe lo stesso (in senso contrario)?
Mach notò che quando la palla di gomma che faceva ruotare lo spruzzatore veniva rilasciata, l'apparecchio rimaneva fermo. E anche Feynman, che tentò da studente di replicare l'esperimento, non notò nessun movimento (https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_sprinkler).

In effetti, in un fluido ideale, non ci dovrebbe essere nessuna forza dovuta all'aspirazione, ma a causa della viscosità dei fluidi, c'è un piccolo effetto, ad alte velocità (dovuto anche alla formazione di vortici all'interno dello spruzzatore), come mostrato da questo esperimento di Harward

Torniamo alla barca. Se supponiamo in prima approssimazione che il "risucchio" non crei nessuna forza (le velocità in questo caso sono abbastanza basse), vediamo cosa succede all'aria una volta che è stata arrestata dalla vela. Se invece dell'aria il ventilatore sparasse della creta, che rimane attaccata alla vela, non avremmo nessuna spinta totale (terza legge di Newton). Ma l'aria invece va da qualche parte.
Soffiando si crea una zona di pressione più alta di quella esterna in prossimità della vela. Da questa zona l'aria esce in tutte le direzioni (ovviamente dobbiamo poi sommare il flusso del ventilatore per avere la velocità dell'aria, ma abbiamo già considerato l'effetto del soffio). Dato che la vela impedisce all'aria di andare nella direzione "anteriore" della barca, abbiamo una spinta netta verso la direzione anteriore.

Per provarlo, ho sospeso un ventilatore ad una cordicella (con un'altra che funziona da filo a piombo). Ovviamente da solo si comporta come un hovercraft e la corda si inclina verso il "retro" del ventilatore
Ma se metto uno schermo che "reindirizza" all'indietro il soffio, abbiamo che la cordicella si inclina (poco) nella direzione opposta.



In pratica, è come se avessimo una bomboletta di aria compressa, che esce in direzione posteriore, e per reazione spinge la barca in direzione anteriore.

Un effetto simile si dovrebbe avere per l'aspirazione. Se io aspiro aria di fronte ad una vela abbastanza grande, creo una depressione che dovrebbe spingere la vela dalla parte dell'aspirazione. Per l'acqua invece, dato che è essenzialmente incomprimibile, probabilmente l'effetto è molto minore.

Bisognerebbe rifare l'esperimento di Harward mettendo degli imbuti (o altri schermi) all'estremità dei tubicini, in acqua e in aria. I tubicini potrebbero essere anche dritti, con delle "vele" inclinate alla fine.

Collisione testa a testa

pubblicato 26 dic 2020, 06:10 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 26 dic 2020, 07:25 ]

La collisione testa a testa tra due auto che viaggiano a 50 km/h è lo stesso che la collisione di un'auto che viaggia a 100 km/h contro un muro? 

A prima vista, considerando la terza legge di Newton, ovvero che l'azione è sempre uguale ed opposta alla reazione diremmo di sì. Del resto, se la collisione fosse perfettamente elastica, l'energia si conserverebbe e la variazione della quantità di moto sarebbe, nel caso di impatto contro un muro fermo, 2mv0, la stessa che si avrebbe cozzando contro un corpo di massa m che ci viene incontro con velocità -v0.

Ma certo una collisione con una automobile non è un urto elastico, l'auto è fatta in modo da deformarsi e assorbire l'energia cinetica.

Per prima cosa, proviamo a cambiare sistema di riferimento. Se prendiamo questo solidale con la prima auto, la domanda diventa: è meglio andare a sbattere contro un muro o contro un'auto ferma?

Vediamo come affrontano la questione i MithBusters.


Nell'esperimento quantitativo i MithBuster rimpiazzano l'auto con un cilindro di creta posto tra due cilindri di metalli, e misurano la sua deformazione, che si può ritenere proporzionale alla velocità dato che nel primo caso la compressione è di 1.5" e nel secondo 0.777".


Si può giustificare questo risultato ragionando così: la perdita di energia dE in un tratto dx è dato dal lavoro delle forze resistenti F(v), che può dipendendere dalla velocità
dE=-F(v)dx
Dato che E=(1/2)mv2, dE=mvdv e quindi
e integrando tra l'ingresso a velocità v0 e la profondità L in cui la velocità va a zero abbiamo

se la forza è costante. Come si vede, la profondità è proporzionale all'energia cinetica.

Il risultato sperimentale dei MithBusters ci dice che se invece di impattare contro un muro fermo ad una certa velocità si impatta contro un'altro corpo uguale (stessa massa ma anche stessa reazione alla collisione) che ci viene incontro alla stessa velocità non si ha un aumento della deformazione. Questo vuol dire, cambiando sistema di riferimento, che l'equivalenza è tra sbattere contro un muro ad una velocità v0 e sbattere contro un corpo uguale al nostro al doppio della velocità, 2v0.

Come si vede la risposta non è quello che ci si aspettava. Sbagliava Newton? Vediamo se ci sono aspetti del problema che non abbiamo considerato per bene.

Prima di tutto: sono stati scelti bene gli angoli di partenza? È vero che la velocità di arrivo nel secondo caso è doppia di quello del primo caso?

L'analisi andrebbe fatta considerando il moto rotatorio di corpi estesi, ma viene lo stesso nel caso di masse puntiformi, dato che il momento d'inerzia o la massa rimane sempre la stessa e quindi si cancella.

Come anche notato qui


l'angolo risultante (misurato dalla verticale) per avere velocità terminale metà di quella che si ottiene da un angolo di 90° è di 41°, che è quello indicato nel filmato (indicano 49° perché partono dall'orizzontale).

A questo punto vediamo il dettaglio della collisione dal punto di vista di una singola auto (o meglio, dal punto di vista della creta): nel caso in cui vada a sbattere contro un muro, ovvero contro un oggetto dotato di massa molto grande, il punto di collisione è fermo. Ma anche nel caso di impatto contro un oggetto di uguale massa il punto di impatto è fermo, per simmetria! Quindi non cambia nulla rispetto al primo caso.

Si noti che il risultato è molto diverso se invece si va a sbattere contro un oggetto di massa molto grande, che si muove contro di noi alla nostra stessa velocità. In questo caso, il moto dell'oggetto di massa molto grande non verrà essenzialmente modificato, quindi, se ci mettiamo nel suo sistema di riferimento, in questo caso è come se andassimo al doppio di velocità.

Conclusione: non è la stessa cosa sbattere con la stessa velocità contro un'auto uguale alla nostra o contro un autotreno.

Ma questo risultato contrastante è consistente con la legge di azione e reazione di Newton: la forza tra la nostra auto e l'oggetto opponente è sempre uguale a quella che l'oggetto opponente fa contro di noi. Solo che nel caso di una collisione completamente anelastica contro un oggetto della nostra stessa massa, la nostra velocità descresce fino ad arrivare a zero. Se assumiamo che la forza F sia sempre costante, abbiamo che la nostra quantità di moto iniziale mv0 viene ridotta a zero in un tempo T=mv0/F. Nel caso invece di collisione, sempre anelastica, contro un oggetto molto massivo che ci viene incontro a velocità -v0, la nostra velocità finale alla fine sarà quella del corpo massivo, -v0, quindi la variazione della nostra quantità di moto sarà 2mv0, e la collisione durerà un tempo doppio (nel caso di forza costante).




La giostra delle stelle

pubblicato 5 nov 2020, 04:15 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 5 nov 2020, 04:19 ]

Ieri uno studente mi ha fatto una domanda molto interessante a proposito della lezione sui sistemi di riferimento accelerati: Le stelle viste dalla Terra sembrano girare in cerchio. Ma il moto circolare è un moto accelerato. Quale forza è responsabile dell'accelerazione centripeta delle stelle? 
Vediamo di illustrare il problema anche per quelli che non sono studenti di fisica. Il problema di base è il seguente: le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento o no?

Come aveva già notato Galileo, e poi Newton, ci sono sistemi di riferimento privilegiati, detti inerziali, in cui vale la prima legge di Newton: un corpo non soggetto a forze (o per cui la somma delle forze è zero) rimane in moto rettilineo uniforme, di cui un caso particolare è che rimane fermo. Se invece un corpo è soggetto a una forza f, viene accelerato con una accelerazione a tale che f=ma, la seconda legge di Newton. E viceversa, se vediamo un oggetto accelerare con accelerazione a, ci dev'essere una forza forza che causa questa accelerazione. Ma un corpo che segue un percorso circolare, anche se a velocità uniforme, è accelerato, perché la velocità cambia sempre di direzione. Se la velocità di rotazione è w,  la velocità dell'oggetto è wR (R essendo la sua distanza dall'asse di rotazione) e la sua accelerazione (centripeta, diretta verso l'interno) è ac=w2R. Per le stelle abbiamo quindi bisogno di una forza mw2R diretta verso la Terra. Ma non può certo essere la forza di gravità. 


Abbiamo parlato di forze, ma bisogna specificare cosa indica esattamente questo termine. Si intendono le forze che si possono attribuire a una interazione, per esempio forze gravitazionali, forze elettromagnetiche, forze dovute ad urti, forze elastiche, forze di attrito, forze vincolari (che poi sono tutte di origine elettromagnetica/quantistica, ma Newton non lo sapeva). In prima approssimazione la Terra è un sistema inerziale (poi vedremo che non è del tutto vero). Ma cos'è un sistema di riferimento inerziale? Un sistema isolato nello spazio?

Vediamo. Ci sono tanti video che mostrano che sulla stazione spaziale internazionale un oggetto "galleggia" senza peso o, se lanciato, segue un percorso rettilineo.
Ma l'unica forza "fisica" che agisce sugli oggetti e le persone nella stazione spaziale internazionale (ISS) è la gravità (vedere "cadere con stile"). Il fatto è che se la Terra approssima un sistema inerziale, la ISS non può esserlo, dato che vi gira intorno. E tutti sappiamo che quando prendiamo una curva in auto, sentiamo una "forza" che ci spinge verso l'esterno (la forza centrifuga). I motociclisti e i ciclisti devono inclinarsi in curva in modo che il loro peso "compensi" appunto la forza centrifuga. La ISS viaggia intorno alla Terra a una velocità opportuna, in modo che la forza centrifuga bilanci esattamente la forza di gravità, e in questo modo tutto lì sopra sembra "senza peso". 

Newton risolve il problema di cosa è un sistema inerziale prendendone uno privilegiato, il "sistema delle stelle fisse", e tutti quelli in moto rettilineo uniforme rispetto a questo. Eh, sì, perché già Galileo aveva mostrato nei suoi dialoghi che tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro sono equivalenti, nel senso che non possono fare esperimenti per capire se il sistema è fermo o in moto. 

A parte il fatto che le stelle visibili ruotano nella Via Lattea (la nostra galassia) e che questa si muove rispetto ad altri, questi movimenti sono abbastanza lenti da poterli trascurare. Ma la Terra ruota intorno a se stessa e intorno al Sole, quindi non è veramente un sistema inerziale, e infatti da terra noi vediamo le stelle ruotare. 

Per fortuna, però, è possibile continuare ad usare le leggi della fisica anche nei sistemi accelerati (rispetto a quelli inerziali), dobbiamo "solo" introdurre delle forze dette "apparenti" (anche se sono realissime) o "inerziali". Cominciamo con quelle più semplici. 

Se siamo a sedere su una automobile che accelera, sentiamo una forza che ci preme sul sedile. Se l'auto decelera, ci sentiamo proiettati verso il parabrezza (e se non indossiamo le cinture ci possiamo fare molto male). Quindi, se il nostro sistema di riferimento ha una accelerazione lineare A, sentiamo una forza -mA, dove m è la nostra massa, in questa maniera possiamo ottenere gli stessi risultati scrivendo f=ma
sia nel sistema inerziale che in quello accelerato. Se siamo seduti su una giostra e questa sta accelerando o decelerando, sentiamo una forza simile. Ma se il sistema di riferimento ruota a velocità costante? 

Consideriamo cosa succede ad un lanciatore di peso. 
mentre ruota, deve bilanciare una forza che tende a strappargli il peso dalle mani. Facendo i calcoli si vede che questa forza vale mw2R, diretta verso l'esterno, dove  è la velocità di rotazione e R la distanza del corpo m dall'asse del movimento. 

Ma non è tutto. In un sistema di riferimento ruotante appare anche una forza che devia i corpi in movimento, la forza di Coriolis. 
I calcoli mostrano che per riprodurre la deviazione vista nel sistema di riferimento ruotante, la forza di Coriolis deve valere 2wv sin(θ), dove v è la velocità dell'oggetto nel sistema di riferimento ruotante e θ è l'angolo tra l'asse di rotazione e v. 

Abbiamo adesso tutti gli elementi necessari. Le stelle appaiono ruotare con una velocità angolare w, quindi, nel nostro sistema di riferimento terrestre, sono soggette ad una forza centrifuga mw2R che ha proprio il valore richiesto, ma purtroppo è diretta verso l'esterno, mentre abbiamo bisogno di una forza centripeta. 

Per fortuna c'è la forza di Coriolis. Le stelle hanno una velocità tangenziale (apparente) v=wR, quindi sono soggette ad una forza di Coriolis 2mw2R che, facendo i conti, viene diretta verso l'interno. Il fattore 2 e qui essenziale: metà della forza di Coriolis annulla la forza centrifuga, e la metà rimanente dà proprio l'accelerazione centripeta richiesta. 

Cadere con stile

pubblicato 5 nov 2020, 03:32 da Franco Bagnoli


Il secchio di Newton

pubblicato 5 nov 2020, 03:22 da Franco Bagnoli


Intervista impossibile a Josiah Willard Gibbs

pubblicato 3 set 2020, 00:42 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 3 set 2020, 00:43 ]


Intervista impossibile a Max Born

pubblicato 9 apr 2020, 10:10 da Franco Bagnoli


Un gioco di dadi: "3000"

pubblicato 10 mar 2020, 15:11 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 10 mar 2020, 15:17 ]

Tanti anni fa vidi giocare in una birreria tedesca un gioco di dadi che probabilmente era una variante del Farkle (https://en.wikipedia.org/wiki/Farkle).

Il Farkle si gioca con 6 dadi, con due o più giocatori. Una volta stabilito l'ordine dei giocatori (tipicamente tirando un dado), ognuno ha l'opportunità di accumulare dei punti, a turno. Vince chi supera per primo 10000 punti o, in alcune varianti, chi arriva esattamente a 10000, come nel traguardo del gioco dell'oca. 

Le combinazioni che fanno vincere sono molteplici: ogni 1 vale 100 punti, i 5 valgono 50 punti, ma tre 1 sono 1000 punti, tre 2 sono 200 punti, tre 3 sono 300 punto e così via. Si continuano ad accumulare punti finché il giocatore decide di incassare o finché non fa nulla con i dadi giocati (perché non sempre si tirano tutti, come vedremo), nel qual caso perde tutto. Ad ogni turno il giocatore deve mettere da parte uno o più dadi tra quelli tirati che hanno fatto punteggio, il cui valore continua a sommare (ma dato che tira meno dadi la probabilità di perdere tutto - ovvero di fare "Farkle" - aumenta). Ci sono poi innumerevoli varianti. 

Dato che però io non capivo il tedesco, e inoltre ero in un tavolo distante, ho afferrato poco delle regole originali ed ho ri-elaborato una variante più semplice, che ho chiamato "3000" e che si gioca con soli tre dadi. 

Le regole sono simili a quelle del Farkle. Si gioca a turno e la soglia da raggiungere è 3000, anche se non ci si ferma necessariamente lì. Il punteggio dei dadi è dato primariamente da uno e sei (o meglio, da assi e re, visto che io preferisco giocare con i dadi da poker). 
Ogni asso/1 vale 100 punti, ma tre assi sono 600 punti. Ogni re/6 sono 50 punti, ma tre sei sono 300 punti. Inoltre, se tutti e tre i dadi sono uguali, si guadagnano 100 punti. 

Come nel Farkle, un giocatore può continuare ad accumulare punteggio finché non decide di smettere e conteggiare quanto guadagnato, o finché non fa niente nei dadi gettati. Ad ogni turno il giocatore può decidere di tenere uno o due dadi, il cui valore continua a sommarsi al totale, a patto che per tra i dadi gettati ce ne sia almeno uno che fa punteggio. 

Facciamo un esempio. Supponiamo che un giocatore ottenga 1-3-6. Sono 150 punti. Se tiene l'uno, e i dadi gettati danno 1-5 allora somma altri 200 punti, arrivando a 350. A questo punto potrebbe tenere i due 1, cercando l'altro 1 (e accumulando 600 punti) o almeno il 6 (sommando 250 punti), ma se esce 2,3,4 o 5 perde tutto. Oppure può ritirare tutti i dadi (o tenerne uno) oppure segnare il totale e passare la mano. 

Cosa succede quando uno arriva a 3000? Beh, chi è sopra 3000 può fermare il gioco (completando il turno), e a quel punto il giocatore che ha il punteggio più alto incassa dagli altri la differenza (in lire...). Quindi il gioco può prendere una piega molto pericolosa: se un giocatore usa una buona strategia e "prende il largo", può superare agevolmente i 3000 punti, e gli altri possono fermarlo solo arrivando a tale soglia. Ma quello che succede spesso è che, presi dalla disperazione, gli inseguitori che magari sono ancora sotto i 1000 punti, cerchino il "colpaccio" che li porti sostanzialmente vicini alla meta, e quindi eseguano una serie di lanci, accumulando punti, perdendo poi tutto perché incocciano nel lancio nullo. Ovviamente oggi i punti vanno visti come millesimi di euro (o centesimi se uno vuole giocare forte). 

Si tratta comunque di un gioco appassionante, e non è raro vedere punteggi di più di 1000 punti in un solo turno. La domanda fondamentale a questo punto è: qual è la migliore strategia per vincere? 

Ovviamente, dato che si tratta di un gioco senza memoria tra turno e turno, questo vuol dire: quale strategia permette di accumulare, in media, più punti per turno?

Non so fare l'analisi esaustiva del gioco, quindi ho pensato di scrivere un programma per confrontare, su una media di 10 milioni di turni, quale tra le strategie che ho elaborato permette di accumulare più punti. 

Le strategie che ho preso in esame sono basate sul numero dei lanci o sul punteggio. Quelle della prima classe sono:

CAMBIA-TUTTO(n), una strategia molto semplice, per cui il giocatore tira tutti i dadi per un numero di lanci (n) stabilito.
TIENI-A(n), che è come CAMBIA-TUTTO ma se compare un 1 (asso), viene tenuto tirando i due dadi rimanenti
TIENI-AA(n), lo stesso ma tiene i due assi 
TIENI-A-AA(n), tiene assi singoli e doppi

Ci sono poi strategia basate sul punteggio accumulato, ovvero:

FAI-ALMENO(x), che continua a tirare i dadi fino ad accumulare almeno il punteggio x, e poi segna
TIENI-A-FAI-ALMENO(x), una combinazione per cui si vuole accumulare almeno un punteggio x, ma se ci sono assi si tengono
FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(n, x), che smette se ha accumulato x o se il numero di lanci è uguale a n

Su quale puntate? 

Ecco i risultati.

 n CAMBIA-TUTTO TIENI-A TIENI-AA TIENI-A-AA
 1 79 79 79 79
 2 114 118 110 116
 3 124 115 107 102
 4 107 93 90 68

Ovviamente, se ci si limita ad un solo lancio, tutte queste strategie sono uguali (ma si vede come, su 10 milioni di turni, la variazione sia minore dell'unità). Quello che viene fuori è che non conviene tenere gli assi, e limitarsi a tre lanci favorevoli. 

Vediamo le altre. Questa volta la strategia si basa sul punteggio x

 x FAI-ALMENO TIENI-A-FAI-ALMENOFAI-ALMENO-MA-NON-PIU(1)FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(2) FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(3) FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(4)
 1009392 79 93 93 93
 200120 123 79113 120 120
 300 128 126 79 114 126 128
 400 124 120 79 114 125 126

Come si vede le strategie "FAI-ALMENO" sono tutte uguali se il limite è 100, tranne che quella che si limita ad un solo lancio che infatti è equivalente a quelle precedenti con un solo lancio. 

La strategia "FAI-ALMENO(3)" è quella vincente, e il confronto con "FAI-ALMENO-MA-NON-PIU(4)" mostra che questo punteggio si accumula in circa quattro lanci. 

Quindi, concludendo, la strategia che vince questa competizione è quella: "ritira tutti i dadi finché non fai almeno 300 punti, quindi segna e passa". 

Avete altre strategie da proporre? 

Intervista impossibile a Oliver Heaviside

pubblicato 10 mar 2020, 14:18 da Franco Bagnoli


Intervista impossibile a Wolfgang Pauli

pubblicato 10 mar 2020, 14:17 da Franco Bagnoli


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