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Collisione testa a testa

pubblicato 26 dic 2020, 06:10 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 26 dic 2020, 07:25 ]
La collisione testa a testa tra due auto che viaggiano a 50 km/h è lo stesso che la collisione di un'auto che viaggia a 100 km/h contro un muro? 

A prima vista, considerando la terza legge di Newton, ovvero che l'azione è sempre uguale ed opposta alla reazione diremmo di sì. Del resto, se la collisione fosse perfettamente elastica, l'energia si conserverebbe e la variazione della quantità di moto sarebbe, nel caso di impatto contro un muro fermo, 2mv0, la stessa che si avrebbe cozzando contro un corpo di massa m che ci viene incontro con velocità -v0.

Ma certo una collisione con una automobile non è un urto elastico, l'auto è fatta in modo da deformarsi e assorbire l'energia cinetica.

Per prima cosa, proviamo a cambiare sistema di riferimento. Se prendiamo questo solidale con la prima auto, la domanda diventa: è meglio andare a sbattere contro un muro o contro un'auto ferma?

Vediamo come affrontano la questione i MithBusters.


Nell'esperimento quantitativo i MithBuster rimpiazzano l'auto con un cilindro di creta posto tra due cilindri di metalli, e misurano la sua deformazione, che si può ritenere proporzionale alla velocità dato che nel primo caso la compressione è di 1.5" e nel secondo 0.777".


Si può giustificare questo risultato ragionando così: la perdita di energia dE in un tratto dx è dato dal lavoro delle forze resistenti F(v), che può dipendendere dalla velocità
dE=-F(v)dx
Dato che E=(1/2)mv2, dE=mvdv e quindi
e integrando tra l'ingresso a velocità v0 e la profondità L in cui la velocità va a zero abbiamo

se la forza è costante. Come si vede, la profondità è proporzionale all'energia cinetica.

Il risultato sperimentale dei MithBusters ci dice che se invece di impattare contro un muro fermo ad una certa velocità si impatta contro un'altro corpo uguale (stessa massa ma anche stessa reazione alla collisione) che ci viene incontro alla stessa velocità non si ha un aumento della deformazione. Questo vuol dire, cambiando sistema di riferimento, che l'equivalenza è tra sbattere contro un muro ad una velocità v0 e sbattere contro un corpo uguale al nostro al doppio della velocità, 2v0.

Come si vede la risposta non è quello che ci si aspettava. Sbagliava Newton? Vediamo se ci sono aspetti del problema che non abbiamo considerato per bene.

Prima di tutto: sono stati scelti bene gli angoli di partenza? È vero che la velocità di arrivo nel secondo caso è doppia di quello del primo caso?

L'analisi andrebbe fatta considerando il moto rotatorio di corpi estesi, ma viene lo stesso nel caso di masse puntiformi, dato che il momento d'inerzia o la massa rimane sempre la stessa e quindi si cancella.

Come anche notato qui


l'angolo risultante (misurato dalla verticale) per avere velocità terminale metà di quella che si ottiene da un angolo di 90° è di 41°, che è quello indicato nel filmato (indicano 49° perché partono dall'orizzontale).

A questo punto vediamo il dettaglio della collisione dal punto di vista di una singola auto (o meglio, dal punto di vista della creta): nel caso in cui vada a sbattere contro un muro, ovvero contro un oggetto dotato di massa molto grande, il punto di collisione è fermo. Ma anche nel caso di impatto contro un oggetto di uguale massa il punto di impatto è fermo, per simmetria! Quindi non cambia nulla rispetto al primo caso.

Si noti che il risultato è molto diverso se invece si va a sbattere contro un oggetto di massa molto grande, che si muove contro di noi alla nostra stessa velocità. In questo caso, il moto dell'oggetto di massa molto grande non verrà essenzialmente modificato, quindi, se ci mettiamo nel suo sistema di riferimento, in questo caso è come se andassimo al doppio di velocità.

Conclusione: non è la stessa cosa sbattere con la stessa velocità contro un'auto uguale alla nostra o contro un autotreno.

Ma questo risultato contrastante è consistente con la legge di azione e reazione di Newton: la forza tra la nostra auto e l'oggetto opponente è sempre uguale a quella che l'oggetto opponente fa contro di noi. Solo che nel caso di una collisione completamente anelastica contro un oggetto della nostra stessa massa, la nostra velocità descresce fino ad arrivare a zero. Se assumiamo che la forza F sia sempre costante, abbiamo che la nostra quantità di moto iniziale mv0 viene ridotta a zero in un tempo T=mv0/F. Nel caso invece di collisione, sempre anelastica, contro un oggetto molto massivo che ci viene incontro a velocità -v0, la nostra velocità finale alla fine sarà quella del corpo massivo, -v0, quindi la variazione della nostra quantità di moto sarà 2mv0, e la collisione durerà un tempo doppio (nel caso di forza costante).




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