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La cartolina di Didone

pubblicato 23 apr 2016, 14:18 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 23 apr 2016, 14:19 ]
Franco Bagnoli

Il problema di Didone è un classico della matematica [1], e anche della letteratura e della storia, dato che secondo Virgilio [2] Didone si uccide dopo essere stata abbandonata da Enea e a tale fatto si fa risalire la contrapposizione tra romani e cartaginesi.
La principessa fenicia Didone fuggì con alcuni fedelissimi dalla città natale di Tiro dopo aver scoperto che il re Pigmalione (suo fratello, niente a che fare con lo scultore greco dallo stesso nome) aveva assassinato suo marito. Dopo un lungo viaggio approdò sulle  coste  dell’Africa  settentrionale  (in  Libia).  Qui  incontrò  il  re Iarba per  l’acquisto  di  un appezzamento di terra su cui costruire una nuova città: egli, per tutta risposta, le dette una pelle di toro e  le  disse  che  poteva  prendere  tanto  terreno  quanto  tale  pelle  potesse  racchiuderne.  Virgilio  non descrive  come  Didone  risolse  il  problema  della  pelle  di  toro;  tuttavia  la  tradizione tramanda  che  la  principessa,  senza  perdersi  d’animo,  escogitò  un  astuto  stratagemma  per  accaparrarsi un  terreno  quanto  più  vasto  fosse  possibile.  Didone ordinò  che  la  pelle  fosse  tagliata  in  listarelle  sottili,  le  quali  fossero  legate  insieme  ai  capi  per  formare una  lunga  corda.  Con  tale  corda,  la  principessa  circondò una collina (su cui costruire la rocca), posando gli estremi della corda in mare. Si dice inoltre che Didone fece disporre la corda a forma di semicerchio in modo da racchiudere la maggior area possibile.



Il problema di Didone in matematica è quello di trovare la figura che ha area maggiore dato il suo perimetro, sia in un piano (la soluzione è un cerchio) che su un semipiano (un semicerchio).

Per quanto il problema possa sembrare banale, richiede qualche conoscenza di calcolo delle variazioni [3] e quindi racchiude una certa complessità tecnica.

Esaminiamo adesso il problema con gli occhi di un fisico. Per prima cosa possiamo dire che la maniera migliore per accaparrarsi della terra con un dato perimetro (la corda ricavata dalla pelle) senza però contare la costa, è quella.. di trovare una penisola separata da un istmo di larghezza uguale alla lunghezza della corda a disposizione. Così non c’è limite alla terra ottenibile. Inoltre, non abitiamo su un piano ma sulla Terra, che è assimilabile ad una sfera. Se tracciamo una curva chiusa su una sfera, non è chiaro cosa sia il “dentro” e cosa il “fuori”. Didone avrebbe potuto richiedere a Iarba tutta la Terra tranne il pezzetto circondato dalla sua corda! Probabilmente però non l’avrebbe ottenuta..

L’altro elemento su cui nessuno si sofferma è: quanto può essere lunga una corda ottenuta da una pelle di bue?

Dato che vigono le leggi della fisica, al massimo la corda può essere fatta con una catena polimerica, tipo un idrocarburo o, anche, un filamento di DNA o un microtubolo proteico o un nanotubolo di carbonio. Ma dubito che la tecnologia di 3000 anni fa fosse in grado di trasformare in tal modo una pelle di bisonte, senza contare che questi filamenti sono invisibili e estremamente fragili, non credo che Iarba ci sarebbe cascato.

Diciamo quindi che si deve tagliare la pelle di bisonte senza trasformarla. Per semplificare diciamo che la pelle copre 1 metro quadro (saranno anche tre o quattro, ma cambia solo un fattore), che è perfettamente bidimensionale (anche se invece ha un certo spessore) e che può essere tagliata al massimo in filamenti spessi 1 millimetro (impresa non banalissima). Si ottengono quindi 1000 metri di fettuccia, che però va ancora annodata (1000 nodi!).


Utilizzando i semplici nodi piani [4], ho stimato che ogni nodo “consuma” un pezzo di filo lungo più o meno 10 volte il suo diametro. Quindi si perdono 10 metri di filo, che non è in molto, ma teniamo conto che con 1000 metri di corda si cinge solo un cerchio di circa 160 metri di raggio.

Si possono risparmiare i nodi? Sì, basta tagliare la pelle di bisonte in un'altra maniera. Per dimostrarlo in maniera pratica, sfidiamo gli amici a passare attraverso una porta disegnata su un piccolo foglio di carta.

Disegniamo su un 1/4 di foglio A4 una porta a due battenti, e tagliamo lungo le linee tratteggiate.

Conviene  piegare il foglio in due, e tagliare lungo le linee tratteggiate (senza tagliare completamente lungo la piegatura, occorre lasciare i due “battenti” della porta).

Riaprendo il foglio, la porta adesso si aprirà, ma sarà impossibile passare attraverso.
A questo punto basta ripiegare di nuovo il foglio e tagliare ulteriormente secondo le nuove linee tratteggiate in figura (che partono alternativamente dalla piegatura e dal bordo).

Questa volta la porta si aprirà a zig-zag e si potrà allargare a sufficienza per passarci attraverso.
A proposito di allungare o accorciare una corda: supponiamo di avere una corda o una cintura lunga 44.000 km, ovvero quanto la circonferenza terrestre, e di metterla intorno all’equatore. Poi la allunghiamo di 1 metro, sempre tenendola di forma circolare. Di quanto si alzerà dalla superficie terrestre? 1 micron? 1 millimetro? di più? di meno?

Il rapporto tra la circonferenza C e il raggio R di un cerchio è C = 2 π R o R = C / 2 π. Aumentando C di 1 metro, R aumenta si 1 / 6,28 m ovvero circa 16 cm! Risparmiando i nodi, Didone potrebbe aver allargato il suo cerchio di 1.6 m, il doppio per un semicerchio.
 
[1] Sir William Thomson (Baron Kelvin), Popular Lectures and Addresses, Vol. II GEOLOGY AND GENERAL PHYSICS, Nature Series MACMILLAN AND CO. (London)  1894 http://math.arizona.edu/~dido/lord-kelvin1894.html; http://www.math.uiuc.edu/~laugesen/dido-isoperimetry-history.pdf
[2] Eneide, libro I, versi 365-369
[3] https://mathematicalgarden.wordpress.com/2008/12/21/the-problem-of-dido/
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Reef_knot

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