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Più grave dei gravi

pubblicato 18 giu 2016, 10:52 da Franco Bagnoli   [ aggiornato in data 16 ago 2016, 23:55 ]

Più grave dei gravi

Franco Bagnoli

Galileo è stato uno dei primi a stabilire che tutti i gravi cadono con la stessa accelerazione. E’ famoso il suo (ipotetico?) esperimento fatto a Pisa, quando lasciò cadere dalla Torre due “gravi”, di massa diversa ma  aventi la stessa forma (per evitare differenti interazioni con l’aria), che arrivarono a terra nello stesso istante [1]. E quando si insegna fisica, ci vuole del bello e del buono per convincere gli studenti che, effettivamente, prescindendo dalla resistenza dell’aria, una piuma ed un martello cadono insieme [2,3].

Per questo, gli esperimenti che mostrano cadute con accelerazione maggiore di g destano molta meraviglia. Uno di questi lo si realizza facilmente usando dei manubri da palestra (o altri pesi) e qualche metro di catena (bella grossa) [4]. Bisogna scegliere un posto che permetta ai manubri di cadere per un bel tratto, per esempio un terrazzo. Esaminiamo quattro casi. Nel primo caso (A) abbiamo solo il manubrio, nel secondo (B) la catena è avvolta intorno al manubrio. Nel terzo (C) la catena cala per un tratto e poi risale, ed è agganciata alla ringhiera. Infine, nel quarto caso (D), la catena cala fino a terra  [figura 1]. Chi arriverà per primo a terra?

Picture1.png

Nonostante tutte le aspettative, i manubri non arrivano a terra insieme. Ovviamente il manubrio (A) e quello (B) arrivano insieme, ma sono preceduti dal manubrio (C): quello legato alla catena che “torna su” arriva a terra prima. Filmando la caduta e osservandola al rallentatore si vede che all’inizio i due manubri cadono alla stessa velocità, e solo verso la fine uno di loro accelera. L’esperimento riesce meglio se si usano catene belle grosse, con anelli abbastanza ampi e massivi.

Perché accade ciò? I gravi non dovrebbero cadere tutti insieme? Che differenza può fare una catena, e, soprattutto, perché la catena semplicemente attaccata al manubrio si comporta diversamente da quella che “torna su”?


Figura 2: rotazione degli anelli

Per spiegare questo apparente paradosso, modellizziamo gli anelli della catena che “torna su” come una serie di aste attaccate in sequenza. L’anello più in basso ruota attorno all’ultimo anello della porzione di catena attaccata alla ringhiera [figura]. Dobbiamo quindi considerare cosa succede ad una asta imperniata in un suo estremo quando “cade”. È facile fare questa analisi quando l’asta è orizzontale [figura]. Si deve usare la seconda equazione cardinale per i corpi rigidi: il momento delle forze esterne τ è uguale alla variazione del momento angolare, ovvero al prodotto del momento d’inerzia (calcolato rispetto al punto di rotazione) per l’accelerazione angolare. Ora, una asta di lunghezza 2L ha il baricentro nel mezzo, e quindi il momento delle forze esterne è τ = mgL, che deve essere uguale a Iα. Il suo momento d’inerzia è I = (4/3)mL2 e la relazione tra accelerazione angolare α e l’accelerazione lineare a del suo estremo è a = 2αL. Sostituendo, otteniamo a = (3/2)g, ovvero l’estremità dell’asta “vorrebbe” avere una accelerazione maggiore di g Quindi, ogni anello della catena “tira” giù il resto della catena ed il manubrio. All’inizio c’è molta catena da accelerare, e quindi i manubri cadono insieme. Ma via via le spinte si accumulano e la massa della catena da accelerare diminuisce, e quindi il manubrio legato alla catena “che torna su” fa uno sprint finale e vince! Chissà cosa avrebbe pensato il povero Galileo se l’avesse visto!

Il ruolo del momento d’inerzia, che esprime la distribuzione delle masse rispetto al baricentro, è qui fondamentale. Al minimo, potremmo concentrare tutta la massa nel baricentro. In questo caso il momento d’inerzia rispetto all’estremo sarebbe I=mL2, e sostituendo otterremmo a=2g. Viceversa, mettendo tutta la massa in maniera simmetrica presso le estremità dell’asta avremmo I=2mL2, e quindi  a = g.

E il caso (D)? Beh, se gli anelli della catena fossero obbligati a ruotare quando si adagiano a terra, si avrebbe probabilmente un caso intermedio tra (A) e (C) [4]. Ma nelle catene normali, gli anelli possono anche scorrere, e quindi non esercitano molta forza. Non ho fatto ancora l’esperimento dettagliato, ma mi aspetto di vedere poca differenza rispetto al caso (A). Vedremo.

Citazioni

[1] Galileo, G., Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, “…sicuramente una palla d'oro nel fine della scesa di cento braccia non preverrà una di rame di quattro dita; veduto, dico, questo, cascai in opinione che se si levasse totalmente la resistenza del mezzo, tutte le materie descenderebbero con eguali velocità”.         

[2] YouTube: Feather & Hammer Drop on Moon https://youtu.be/5C5_dOEyAfk

[3] https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs&feature=youtu.be 

[3] YouTube: Chain drop experiment https://youtu.be/1erU-Cwcl2c

[4] http://inspiringscience.net/2013/04/15/falling-faster-than-gravity/ and  http://ruina.tam.cornell.edu/research/topics/fallingchains/chain_paperV13revised.pdf 


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