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Momento angolare

Il momento angolare, o momento della quantità di moto, come sarebbe più corretto (ma anche più lungo) in italiano, è una quantità abbastanza misteriosa.

Una maniera interessante per introdurlo è quella di riconsiderare cosa è successo agli albori dello studio della fisica moderna, ovvero come Newton, e in parte Galileo, affrontarono il problema di cercare di spiegare l'origine delle leggi di Keplero, che erano di carattere puramente osservativo grazie a Tycho Brahe.

  1. Keplero, studiando le osservazioni, propone di sostituire l'approccio tolemaico basato sugli epicicli (combinazioni di moto lungo cerchi), con delle leggi concettualmente più semplici ed eleganti [http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Keplero]: I pianeti si muovono lungo delle ellissi con il Sole in uno dei fuochi. Questo implica l'abbandono della concezione geocentrica. Si noti che le traiettorie sono chiuse (i pianeti non percorrono, per esempio, delle rosette intorno al sole, ma dopo un giro la traiettoria si chiude su sé stessa).
  2. Il raggio che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta (raggio vettore) "spazza" aree uguali in tempi uguali. Ovvero, se misuriamo l'area spazzata dal raggio vettore nell'unità di tempo (velocità areolare), questa è costante. Quindi i pianeti viaggiano più veloci quando sono più vicini al Sole, e sono più lenti quando sono lontani.
  3.  I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal sole. 
Newton si rimboccò le maniche e provò a ricavare queste leggi partendo da due punti fermi:
  1. La meccanica degli astri segue le stesse leggi della meccanica degli oggetti terrestri.
  2. Il collegamento tra forze e accelerazioni e masse è dato dalla sua famosa seconda legge f=ma.
Approssimando i pianeti come punti materiali, trascurando la loro massa rispetto a quella del Sole (che si può quindi considerare fermo) e trascurando anche l'interazione tra i pianeti, fu in grado di mostrare che la prima e la terza legge di Keplero sono compatibili con una forza, proporzionale al prodotto delle masse del Sole e del pianeta, che diminuisce con il quadrato della distanza Sole-pianeta. Infatti, per una espressione generica della dipendenza della forza dalla distanza, le traiettorie non si chiudono (anche se - mi dicono - esistono dei casi particolari).

Ovvero, la forma della forza gravitazionale dev'essere della forma  f = G m1 m2/r2.

La terza legge, che in genere non è molto considerata, dice però che la costante G della legge di gravitazione universale è la stessa per tutti i pianeti. 

La seconda legge però è forse la più interessante, perché in realtà non dipende dalla forma esatta della forza, ma solo dal fatto che questa è "centrale", ovvero diretta dal pianeta verso il sole. La stessa legge si ha sostituendo alla forza gravitazionale una qualsiasi altra forza centrale, per esempio legando una massa ad un elastico e mettendola in rotazione. La forza elastica è proporzionale allo spostamento, quindi è completamente diversa da quella gravitazionale.

In questo caso le traiettorie non sono per forza delle ellissi: dato che per la forza elastica il moto lungo ogni direzione è indipendente da quello lungo un'altra, e che il moto unidirezionale è una oscillazione armonica, si hanno tutte le possibili combinazioni di oscillazioni armoniche,  ovvero le figure di Lissajous [http://it.wikipedia.org/wiki/Figura_di_Lissajous].

Ma per quanto strana possa essere una traiettoria in questo caso, obbedisce sempre alla seconda legge di Keplero perché la forza è centrale. Ci dev'essere sotto qualcosa di più profondo...

Infatti, è così. La seconda legge di Keplero dice che il momento angolare orbitale si conserva. Vediamo di capire perché senza mettere in campo troppe formule (ma qualcuna sì...). Approssimiamo un pianeta con un punto materiale, e teniamo fermo il Sole. In queste condizioni il momento angolare L del pianeta che si muove di velocità v (vettore, cambia nel tempo) a distanza r (vettore) dal Sole è

Lr × mv

Lo strano simbolo × (prodotto vettoriale) serve solo per ricordare che dobbiamo prendere solo la parte di r perpendicolare a v, o, equivalentemente, solo la parte di v perpendicolare a r.

La variazione di L, ΔL/Δt, ci dà

ΔL/Δt  = Δr/Δt × m v + r × m Δv/Δt

ma per definizione v = Δr/Δt e a = Δr/Δt, per cui

ΔL/Δt  = v × m v + r × m a

Il primo termine è zero, perché abbiamo detto che il simbolo × del prodotto vettoriale ci ricorda di prendere la componente del primo vettore perpendicolare al secondo, e ovviamente v è parallelo a sé stesso. Nel secondo termine riconosciamo m a
= f, e quindi

ΔL/Δt  = r × f.

Ma se le forze sono centrali, f è diretta come r e quindi  ΔL/Δt = 0, ovvero il momento angolare si conserva. Non è stato facile ma ci siamo riusciti.

Abbiamo detto che la seconda legge di Keplero indica la conservazione del momento angolare orbitale. Infatti, i pianeti girano anche intorno a sé stessi, e questo dà un contributo (di solito più piccolo) al momento angolare totale. Ma i due movimenti, rivoluzione e rotazione, sono di solito disaccoppiati, e quindi si conservano separatamente. Come illustrato nella pagina rimbombo lunare, un accopiamento tra questi moti è dato dalle maree, per esempio nel sistema Terra-Luna o anche tra Sole e Terra. [INSERIRE LINK ALLA PAGINA accoppiamento spin-orbita]

Abbiamo messo a posto la seconda legge di Keplero, ma il concetto di momento angolare è molto più utile, proprio perché ci dà una legge di conservazione, proprio come l'energia se non ci sono attriti.

Prima però di vedere le applicazioni, dobbiamo estendere il concetto di momento angolare ai corpi estesi, visto che per ora l'abbiamo introdotto solo per un punto materiale. In  principio il procedimento è semplice: spezzettiamo il corpo in tanti pezzi, e calcoliamo ogni contributo. Indichiamo con l'indice i ogni pezzo, di massa mi, posizione ri e velocità vi.
Otteniamo

LΣi ri × mi vi ,

dove il simbolo Σi ci ricorda che dobbiamo sommare su i. A questo punto tutto procede come prima, calcoliamo la variazione di L, e però in questo le caso le forze da considerare sono tutte quelle che agiscono su ogni pezzettino del corpo.

Per un pianeta sono sia quelle attrattive del Sole, ma anche quelle di altri pezzi dello stesso pianeta. Il compito sembra disperato, ma adesso entra in gioco la terza legge di Newton, quella dell'"azione e reazione". La legge dice che se due corpi (o due pezzi dello stesso corpo) interagiscono, allora la forza di una sull'altra è uguale ed opposta alla forza della seconda sulla prima. Questa uguaglianza fa sì che tutti i contributi delle forze interne ad un sistema (o ad un corpo) scompaiano. Quindi se il sistema è isolato (per esempio il sistema Sole-pianeta nel nostro caso), allora il momento angolare si conserva anche considerando il pianeta come un corpo esteso.

Ma a che ci serve? Per vedere la sua utilità dobbiamo avere ancora un po' di pazienza, e capire come calcolare il momento angolare di un corpo in rotazione. Risparmio i calcoli, che si possono trovare nella pagina rotazioni, e enuncio solo il risultato per un corpo in rotazione intorno ad un asse fisso:

L = I ω ,

dove ω indica la velocità angolare, che è un vettore il cui orientamento segue la regola della vite o della mano destra (sempre sulla pagina rotazioni) e I è il momento d'inerzia, dato dalla somma delle masse per il quadrato della distanza di dall'asse di rotazione

IΣi mi di2 .

Dopo tutta questa fatica matematica, possiamo finalmente passare alle conseguenze della conservazione del momento angolare, che come abbiamo detto vale se il sistema è isolato o soggetto solo a forze esterne centrali.

Possiamo per esempio capire come fanno le pattinatrici sul ghiaccio ad aumentare la loro velocità angolare: partono girando lentamente con le braccia e una gamba distesa, ovvero con un grande momento di inerzia, poi raccolgono braccia e gambe intorno al corpo, diminuendo I. Dato che il ghiaccio non fa molto attrito, il sistema è isolato e L si conserva, quindi ω aumenta. Lo stesso meccanismo,alla rovescia, permette ai tuffatori di interrompere la loro rotazione al momento di entrare in acqua.

Passiamo ad applicazioni astronomiche. Prendiamo per esempio il sistema Terra-Luna: la Luna e la Terra girano intorno al loro centro di massa comune (la massa della Terra è più grande di quella della Luna, ma non infinitamente più grande...). In tempi ancestrali, al momento in cui la Luna si è staccata (o è stata catturata) dalla Terra [http://it.wikipedia.org/wiki/Formazione_della_Luna], la Luna non presentava sempre la stessa faccia alla Terra, ma aveva periodi di rivoluzione e di rotazione indipendenti.

Ma questi due astri sono accoppiati dalle maree. Sulla Terra vediamo solo le maree di acqua, perché questo elemento è molto mobile, ma in realtà anche la superficie della Terra risente dell'attrazione della Luna (e della forza centrifuga, [INSERIRE RIFERIMENTO PAGINA MAREE]). Ancor di più doveva risentire la Luna, con delle maree solide "di Terra" che dovevano far innalzare la sua superficie di metri. Queste maree hanno rallentato la rotazione della Luna (e della Terra) finché, adesso, la Luna ci guarda sempre con la stessa faccia. Come calcolare l'influenza di ciò sul movimento della Luna? Beh, basta usare la conservazione del momento angolare, visto che le forze tra Terra e Luna sono forze interne al sistema composto da questi due astri. Per conservare L, visto che il momento angolare intrinseco della Luna diminuisce, deve aumentare quello orbitale, quindi la Luna deve muoversi più velocemente e/o allontanarsi. Ma ci sono anche i vincoli legati all'orbita (terza legge di Keplero) per cui alla fine quello che e successo è che la Luna si è allontanata. Le maree lunari sulla Terra fanno rallentare la terra (i giorni si allungano piano piano), e anche questo fa allontanare la Luna.

Come si è visto, usando la conservazione del momento angolare siamo riusciti a calcolare gli effetti delle interazioni Terra-Luna senza entrare nel dettaglio di come queste interazioni effettivamente agiscono.

Questo procedimento è particolarmente interessante quando è impossibile calcolare le interazioni. Questo è per esempio il caso della meccanica quantistica. In questo caso le interazioni sono quantizzate, ovvero avvengono "a blocchi", e sono molto difficili da calcolare. Ma per molti casi non ce n'è bisogno, dato che anche qui valgono i principi di conservazione dell'energia e del momento angolare. Possiamo così calcolare l'effetto della componente orbitale del momento angolare, che dà la forma degli orbitali atomici (almeno nel caso semplice dell'atomo di idrogeno). Quando Schrödinger fece il calcolo, non dovette ricavare da zero la parte orbitale, ma poté prendere pari pari quella già elaborata a suo tempo da Lagrange e altri [http://it.wikipedia.org/wiki/Armoniche_sferiche]. Dovette solo impostare la quantizzazione, che a lui venne più facile perché lavorava con una funzione continua, non con orbite di particelle, e quindi richiese semplicemente che la funzione fosse periodica dopo un giro.

Il momento angolare di un elettrone è abbastanza facile da osservare perché l'elettrone è carico, e quindi quando "gira" intorno al nucleo si comporta come una corrente e genera un campo magnetico.

Le osservazioni sul momento angolare degli atomi hanno permesso di scoprire che anche gli elettroni (e i nuclei) hanno un loro momento angolare intrinseco, che in questo caso si chiama spin. Non è corretto visualizzare un elettrone come una particella rotante, perché le sue dimensioni sono a tutti gli effetti nulle, ma in realtà non importa: basta che si usino le formule corrette per il momento angolare (considerando anche lo spin) e tutto torna. Torna anche (a parte un fattore 2, che ha origine relativistica) la corrispondenza tra spin (momento angolare intrinseco) e campo magnetico generato per l'elettrone (o qualsiasi altra particella).

Anche per un atomo ci sono conseguenze dall'accoppiamento tra momento angolare intrinseco e orbitale, che si chiama in termine tecnico "interazione spin-orbita". Nel caso dell'elettrone, il "meccanismo" sta nel fatto che la particella, dotata di spin e quindi di momento magnetico intrinseco, "sente" il campo magnetico generato dalla sua stessa orbita... ma anche in questo caso non abbiamo bisogno di entrare troppo nei dettagli, sfruttando le regole di composizione del momento angolare possiamo derivare le conseguenze dell'accoppiamento stesso (struttura fine dei livelli atomici).

E' veramente affascinante riflettere sull'importanza delle leggi "generali" di conservazione. Abbiamo parlato di quella dell'energia, che è più conosciuta, e di quella del momento angolare, ed è sorprendente che la stessa legge ci permetta di comprendere fenomeni che avvengono nella vita di tutti i giorni, tra pianeti o tra particelle elementari.


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