L'avventura "Paperone ed il deposito sotterraneo" (1987) di Giorgio Pezzin, disegnata da Giorgio Cavazzano [http://coa.inducks.org/story.php?c=I+TL+1122-B] inizia con Paperone esasperato dai continui tentativi di furto da parte della Banda Bassotti.
      spostata ruotando sul suo asse!"   La storia presenta un certo numero di errori di fisica. Quali? Non ci riferiamo qui alla capacità di sopravvivere ai traumi, cosa che appartiene alla "fisica dei fumetti" [http://en.wikipedia.org/wiki/Cartoon_physics], che possono essere assimilati ai cartoni animati. Come spiegato esplicitamente in "Chi ha incastrato Roget Rabbit" [http://it.wikipedia.org/wiki/Chi_ha_incastrato_Roger_Rabbit], i cartoni possono morire solo dal ridere o se vengono sciolti nella "salamoia", mentre si riprendono da qualsiasi traumi senza conseguenze, riportando al limite un leggero stordimento. Ovvero: L'animazione segue le leggi della fisica, a meno che il contrario risulti più divertente. . Per un autore di fumetti la fisica (e tutte le scienze) costituiscono stimoli immaginifici che non necessariamente si traducono in una trattazione accurata. G. Pezzin, autore della storia, commenta
In effetti non avevo fatto veri calcoli scrivendo la storia. A me interessava di più l'effetto complessivo. L'idea l'ho avuta leggendo appunto Verne, ma soprattutto mi piaceva l'immagine di una ``fucilata di dollari'', soprattutto se disegnata da Cavazzano.
Tuttavia, quando si invocano esplicitamente le leggi della fisica umana, data la popolarità dei fumetti si corre il rischio di lasciare tracce pericolose nei futuri studenti di fisica, ingegneria, ma non solo... Cerchiamo qui di rimediare, per quanto possibile. Gli errori che si possono rimarcare sono:
Prima di inoltrarci nei calcoli (come vedremo necessariamente approssimati), cerchiamo di fissare un minimo le idee. Eseguiremo i calcoli nel sistema di riferimento accelerato dell'osservatore sulla superficie terrestre. L'accelerazione di gravità g in funzione della distanza dal centro della terra r è g = G MT/RT2,
dove MT ≃ 5,98·1024 km è la massa terrestre, RT ≃ 6,372·106 m è il raggio medio terrestre e G ≃ 6,67·10-11 m3/kg s2 è la costante di gravitazione universale. Scrivendo r=RT + h, con h altezza dal suolo, si ha g= G MT/(RT+h)2 ≃ G MT/RT2 (1-2 h/RT).
Quindi l'approssimazione di forza peso indipendente dalla quota ha un errore del 1% circa ogni 31,5 km di altezza raggiunta. Detta v0 la velocità iniziale, il tempo di volo in assenza di attrito dell'aria è τ = 2v0 /g. L'altezza massima hm raggiunta (in assenza di attrito dell'aria) è hm = vo2 /2g. In presenza di attrito viscoso (valido alle basse velocità) dell'aria (Fa = -γ v), con il coefficiente γ che dipende dalle dimensioni e dalla forma dell'oggetto in moto, si ha h= m v0/γ - m2g/γ2 log(1+γv0/(m g)).
L'altezza di 31,5 km si raggiunge in assenza di attrito dell'aria per una velocità iniziale di circa 790 m/s. In presenza di attrito dell'aria, con un coefficiente realistico γ =0,1 kg/s, la velocità necessaria per una massa m = 1 kg è circa 3500 m/s (molto superiore alla velocità dei proiettili). D'altra parte il moto non è sicuramente viscoso (ma piuttosto turbolento), e inoltre l'atmosfera è spessa solo qualche chilometro, con grandi variazioni di densità e temperatura, questo porterebbe ad utilizzare una formula differente per l'attrito dell'aria con un coefficiente dipendente dall'altezza. Questo per far capire quanto siano approssimati i calcoli seguenti. Vediamo comunque le forze che agiscono su di un proiettile: Fpeso = - m gj,
Faria = -γ v, FCoriolis = -2 m ω ⨉ v, Fcentrifuga = -m ω ⨉ (ω ⨉ r). Per un corpo di massa 1 kg assumendo g = 9,81 m/s2, e una velocità di rotazione terrestre ω ≃ 7,27·10-5 rad/s (ovvero 1 giro al giorno) e γ = 0,1 kg/s, si hanno i rapporti fra i moduli (con v0 =1000 m/s) Faria/Fpeso = 10,
FCoriolis/Fpeso = 0,0148, Fcentrifuga/Fpeso = 0,0034.
Ne segue che non si può trascurare la forza di attrito dell'aria, pur non sapendo bene come modellizzarla. La forza centrifuga è trascurabile perché piccola e diretta come la forza peso (all'equatore) mentre la forza di Coriolis NON è trascurabile perché, pur piccola, è diretta perpendicolarmente alla forza peso (all'equatore). Eseguiremo comunque i calcoli prima in assenza di attrito da parte dell'aria, e vedremo che si possono ottenere i risultati con carta e penna. Passeremo poi alla discussione in presenza di attrito viscoso, ma solo come esercizio di calcolo. Approssimeremo g = 10 m/s2 Errori di fisica n. 1
Il primo errore di fisica consiste nel fatto di rappresentare i paperi in piedi nell'ascensore anche se questo è in caduta libera. Facciamo prima le considerazioni nel vuoto. Il sistema di riferimento dell'ascensore è un sistema in moto accelerato con accelerazione pari a g. All'interno di un tale sistema di riferimento si osserva una forza fittizia di valore -g cioè tale da cancellare esattamente la forza peso. Quindi, relativamente all'ascensore, i paperini dovrebbero galleggiare "senza peso"; In effetti gli esperimenti (e i film) in condizioni di gravità ridotta vengono proprio realizzati in sistemi in caduta libera, per esempio all'interno di un aereo in caduta libera [http://en.wikipedia.org/wiki/Reduced_gravity_aircraft]  Si può anche fare riferimento al principio di equivalenza debole, ovvero al fatto che localmente non è possibile distinguere un campo gravitazionale dall'accelerazione di un sistema di riferimento non inerziale, principio che facilmente porta a calcolare la deviazione di un raggio luminoso in un campo gravitazionale (ma solo la metà dell'effetto totale) [INSERIRE RIFERIMENTO CALCOLO DEVIAZIONE RAGGI LUMINOSI]. Senza ricorrere ai sistemi di riferimento non-inerziali, quando un sistema è soggetto solo alla forza di gravità, e questa si può considerare omogenea, nessun sottosistema viene accelerato diversamente dal resto, perché la forza di gravità, come la forza di inerzia, agisce su tutte le parti di un corpo. L'errore nel fumetto può servire a mettere in evidenza che noi, con i nostri sensi, non "sentiamo" la forza di gravità. Quello che ci dà il senso del "peso" è in realtà la reazione vincolare del suolo, che ci impedisce di sprofondare, trasmessa attraverso le nostre ossa al resto del corpo. La stessa spiegazione fisica è alla base dei traumi che vengono causati dalle brusche accelerazioni (o più probabilmente. dalle decelerazioni, per esempio durante un incidente automobilistico). Quello che ci causa danni non è la decelerazione, ma il fatto che venga impartita solo ad una parte del nostro corpo da un vincolo (per esempio il parabrezza della nostra auto). La massima accelerazione sopportabile senza danni da un essere umano varia con la posizione del corpo, per una posizione "generica" non deve superare i 3 g (g è l'accelerazione di gravità, 9,8 m/s), ma può arrivare a più di 10 g se il corpo è sdraiato. Durante un urto può superare le centinaia di g. Rimanendo all'interno della letteratura di fantasia, che le brusche accelerazioni causino danni è, per esempio, ben presente in J. Verne, che, nel romanzo "Dalla Terra alla Luna", a cui in fondo questo fumetto si ispira, usa degli ammortizzatori ad acqua per permettere ai protagonisti di sopravvivere (anche se uno dei due cani imbarcati morirà per i traumi subiti). Lo stesso Verne nel romanzo "Intorno alla Luna" commette un errore simile a quello qui esaminato quando descrive come l'effetto di "assenza di peso" si possa apprezzare solo per un breve momento vicino al punto di equilibrio tra le attrazioni terrestre e lunare. Non è forse inutile sottolineare come il brindisi finale non avrebbe potuto aver luogo -- i liquidi in caduta libera possono rimanere compatti a causa della tensione superficiale,
 D'altra parte, Jules Verne giustamente sottolinea che il cadavere del cane morto, gettato poi nello spazio, segue il proiettile per tutto il viaggio. 
Tornando ai nostri paperi, dato che il moto dell'ascensore e dei dollari avviene in aria, si dovrebbe tenere conto dell'attrito viscoso, che può influenzare anche la discussione dell'errore n. 3. In caso di moto viscoso, si dovrebbe avere come risultato che l'ascensore viene rallentato rispetto alla caduta libera e quindi i paperi dovrebbero (forse) potersi tenere in piedi.
Errore n. 2
Il secondo errore riguarda il fatto che l'ascensore si separa dalla massa dei dollari. Se si trascura l'influsso della resistenza dell'aria, non ha senso la separazione dell'ascensore dai dollari, in quanto le forze agenti (la forza di gravità m g) è proporzionale alla massa così come la forza di inerzia (m a). Dall'equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale, ogni oggetto in caduta libera si muove con la stessa accelerazione indipendentemente dalla sua massa.
La cosa può cambiare in presenza dell'aria. In effetti solo l'attrito dell'aria, introducendo un forza non linearmente dipendente dalla massa è in grado di giustificare una separazione fra ascensore e dollari, ma non è chiaro se un dollaro subisce un attrito minore o maggiore di un ascensore. Dalla figura si può inoltre desumere che i dollari e l'ascensore viaggiano in formazione compatta, trascinando presumibilmente con sé anche l'aria, che quindi non dovrebbe avere molta influenza sul moto. Errore n. 3
Il terzo errore è un po' più tecnico. In principio è possibile sparare un proiettile con una velocità tale da metterlo in orbita o addirittura farlo uscire dalla gravità terrestre [http://it.wikipedia.org/wiki/Dalla_Terra_alla_Luna]. Anzi, questo avrebbe il grande vantaggio di non dover accelerare anche il combustibile. Per esempio il carico utile del razzo Saturn V (il razzo che ha portato gli uomini sulla luna) è molto basso: 3000 tonnellate totali per 118 tonnellate di carico utile in orbita bassa (47 tonnellate per la luna) [http://it.wikipedia.org/wiki/Saturn_V] La prima velocità cosmica v1 è la velocità che bisogna imprimere ad un proiettile o missile per permettergli di entrare in orbita circolare con raggio minimo. Dall'equilibrio tra forza gravitazionale e forza centrifuga m v12 / r = G MT m / r2,
in cui MT ≃ 5,98·1024 kg è la massa terrestre, m la massa del proiettile, r è il raggio dell'orbita, G ≃ 6,67·10-11m3/kg s2 la costante di gravitazione universale, si ottiene, prendendo r = RT ≃ 6,372·106 m, raggio terrestre per un'orbita radente alla superficie, (appena al di sopra dell'atmosfera), v1 ≃ 8·103 m/s.
D'altra parte, la quantità di polvere da sparo (e la lunghezza della canna) necessaria per imprimere una certa velocità ad un proiettile cresce notevolmente con la velocità del proiettile stesso. Citando da [http://earmi.it/balistica/berta.htm]Se per 1000 m/s la carica di polvere pesava il 40% del peso del proiettile, per ottenere 1300 m/s occorreva un peso di polvere pari a quello del proiettile. Dal fumetto è evidente che la carica non è abnorme rispetto al contenuto del deposito. 
La variazione della forza di gravità con l'altezza è trascurabile, per cui nel seguito useremo g costante (e uguale a 10m/s2). Approssimeremo coerentemente τ ≃ 200 s. Rotazione della terra e sistemi di riferimento non inerziali Il quarto errore merita una discussione più ampia. La "spiegazione" del paperino è ovviamente sbagliata, ma evidentemente condivisa da parecchi. I dollari, essendo sparati in verticale, mantengono la stessa velocità tangenziale della terra. Se il movimento potesse essere assimilato ad un moto traslatorio uniforme, i dollari dovrebbero ricadere nello stesso punto. Ma il moto della terra non è traslatorio, così che ci troviamo in un sistema di riferimento accelerato. Prendiamo quindi un sistema di riferimento locale in cui l'asse y sia verticale (con lo zero sulla superficie terrestre), l'asse x vada da est a ovest e l'asse z sia perpendicolare a questi due (terra vista dal polo nord).  Facciamo innanzi tutto i calcoli come se il deposito si trovasse sull'equatore. La rotazione della terra avviene in senso antiorario con una velocità angolare ω = 2 π /(24·3600) rad/s ≃ 7,27·10-5 rad/s e per il momento la consideriamo diretta come l'asse z, ovvero ω = ω k. Le forze "apparenti" in un sistema di riferimento non inerziale sono la forza centrifuga -m ω ⨉ (ω ⨉ r) e la forza di Coriolis -2 m ω ⨉ v. Come osservato in precedenza, si può trascurare il contributo della forza centrifuga. Rimane quindi il contributo della forza di Coriolis. Impostando le equazioni del moto si ottiene
Integrando l'eq. (1) tra 0 e t, con le condizioni iniziali y(0)=0 ed ẋ(0)=0 cioè dollari sparati in verticale, si ottiene
che è sempre positivo. Quindi effettivamente il proiettile viene spostato dalla rotazione terrestre verso ovest, ma per una ragione diversa da quella ipotizzata. E' probabilmente più facile visualizzare l'effetto in un sistema di riferimento fisso (osservatore inerziale): al momento dello sparo i dollari, oltre alla velocità verticale, hanno una componente orizzontale (tangenziale alla terra) diretta da ovest verso est. Il moto è quasi parabolico, data limitata altezza raggiunta, ma al momento in cui i dollari raggiungono la retta tangente alla terra e passante dal loro punto di lancio, sulla verticale (quasi) del loro punto di partenza, devono ancora "scendere" per un tratto dato che la terra è sferica. Durante questa caduta residua la terra continua a girare e quindi i dollari cadono effettivamente ad ovest. Calcoliamo precisamente traiettoria e punto di caduta nelle nostre approssimazioni. Sostituendo l'eq. (3) nella (2) si ottiene
ovvero l'equazione di un oscillatore armonico, cosa che può sorprendere un po'. La soluzione con le condizioni iniziali y(0)=0, ẏ(0) = v0 è
Nel limite ω → 0 si ottiene, sviluppando il seno al primo ordine e il coseno al secondo ordine,
y(t) ≃ v0 t - 1/2 g t2 ,
come ci aspettavamo.Sostituendo l'eq.(4) nell'eq. (3) ed integrando con le condizioni iniziali x(0) = ẋ(0) = 0 si ottiene
Possiamo verificare che nel limite ω → 0 si ottiene al primo ordine x(t)=0. Sviluppando al terzo ordine otteniamo correttamente x(t) ≃ ω (v0 t2 - 1/3 g t3).
Al tempo τ si ha x(τ) ≃ (4 ω v03) / (3 g2) =1 km,
ovvero una distanza che si può agevolmente percorrere a corsa (anche se senza allenamento probabilmente si arriva senza fiato).  Traiettoria dell’ascensore in assenza (linea tratteggiata) e in presenza (linea continua) di aria, ω = 2π/(24·3600) rad/s ≃ 7.27·10−5 rad/s, g = 10 m/s2, γ = 0.1 kg/s, m = 1000 kg.
Paperopoli però non è sull'equatore. Dato che si trova in California si può pensare che sia più o meno a 37o N. In questo caso si avrà una deviazione verso ovest di soli 765 m. Si noti che la procedura a prima vista corretta per cui si assume che un proiettile rimanga "indietro" rispetto al punto di sparo della distanza d = ω ∫0τ y(t) dt, partendo dall'assunto che la velocità tangenziale alla superficie sia minore di quella in quota, porta ad un risultato che è la metà di quello corretto (dato il fattore 2 nella forza di Coriolis) Calcolo in presenza di attrito viscosoPer esercizio possiamo sviluppare il calcolo in presenza di attrito viscoso, proporzionale alla velocità. Dal secondo principio della dinamica
Ricavando ẏ e ÿ dalla prima di queste equazioni e sostituendo nella seconda otteniamo d3x/dt3+ (γ / m) ẍ =-2 ω g-4 ω2 ẋ - (γ / m) ẍ - (γ / m)2 ẋ,
con le sostituzioni Γ = γ / m,
Ω = √ (4 ω2 + Γ2, ζ = ẋ +2 ω g / Ω2, si ottiene l'equazione di un moto armonico smorzato d2ζ/dt2 +2 Γ dζ/dt+Ω2 ζ=0.
Risolvendo questa equazione con le condizioni iniziali x(0)=0, ẋ (0)=0, ẍ (0)=2 ω v0, si ottiene x = 1/ Ω4 {2 ω (2 g Γ + Ω ^2 v_0)
- e-Γ t[2 ω (2 g Γ + Ω2 v0) cos(2 ω t) + (g Γ2 +Γ Ω2 v0 - 4 g ω2 ) sin(2 ω t)] - 2 g ω Ω2 t}. Inserendo la soluzione nell'equazione per ẏ ed integrando si ottiene y = 1 / Ω4 {(g Γ2 + ΓΩ2v0 - 4 g ω2)
+ e-Γ t [2 ω (2 g Γ + Ω2 v0) sin(2 ω t) - (g Γ2 + ΓΩ2v0 - 4 g ω2 ) cos(2 ωt)] - g ΓΩ2 t}. All'ordine zero in ω dà la soluzione del moto in assenza di forza di Coriolis, che si discosta poco dalla soluzione reale. y =1 / Γ [(v0 +g/Γ )(1-e-Γ t) - g t].
Per corpi di massa piccola rispetto al coefficiente di attrito (Γ = γ/m grande), la forza di attrito viscoso domina sulla forza di Coriolis anche nel caso del moto lungo l'asse x; l'accelerazione lungo l'asse x sarà perciò nulla. Integrando l'equazione (6) con le condizioni iniziali x(0)=0 ed y(0)=0, possiamo quindi ottenere
x(t) ≃ -(2 m ω / γ) y(t),
e quindi al termine del moto i dollari ricadono quasi esattamente sul punto di partenza.  Traiettoria dei dollari in presenza di attrito viscoso dell’aria, assumendo m = 0.03 kg. Si noti che nel caso di moto viscoso la traiettoria è quasi verticale: la scala orizzontale nella figura è di soli 1,4 cm. Inoltre l'altezza massima è molto ridotta, ed il tempo di volo (non indicato) si riduce a circa la metà (τ ≃ 100 s). Ovviamente si è trascurato il trascinamento dell'aria da parte della massa dei dollari, per cui probabilmente si dovrebbe osservare un notevole sparpagliamento delle monete. Per l'ascensore, invece, il valore di Γ è molto piccolo, data la grande massa. Prendendo sempre γ = 0,1 kg/s e assumendo m=1000 kg, la traiettoria dell'ascensore non si discosta essenzialmente da quella in assenza di aria (spostamento finale circa 950 m all'equatore). Le traiettorie dell'ascensore calcolate numericamente in assenza e presenza di aria sono riportate nella figura sopra. Quindi, in presenza di aria, è presumibile che lo scenario sia opposto di quello ipotizzato nel fumetto: l'ascensore devia verso ovest molto più dei dollari. |
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