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Rotazioni

Le rotazioni sono difficili. Ma noi non ci fermiamo di certo di fronte alla prima difficoltà. Magari alla seconda..

Cominciamo "ripassando" quello che sappiamo sui moti rettilinei. E' abbastanza facile capire concetti "cinematici" come quelli di spostamento, velocità e accelerazione, e anche quelli "dinamici" come la massa (quanto è difficile accelerare  un corpo), la forza (legata alla massa m e alla accelerazione a dalla seconda legge di Newton f=ma), la quantità di moto p = m v. E dato che l'accelerazione misura quanto varia la velocità, la variazione della quantità di moto dipende dalla accelerazione (se la massa è costante) e quindi dalle forze. Infine, se consideriamo che (terza legge di Newton) le forze tra due corpi sono uguali ed opposte [FARE RIFERIMENTO ALLA SCHEDA SUGLI URTI], otteniamo che la quantità di moto di un sistema non cambia a causa delle forze interne.

Facciamo degli esempi per assicurarci di aver capito. Se lanciamo una palla ci aspettiamo che questa percorra una traiettoria parabolica (trascurando l'attrito dell'aria), come insegnava Galileo. Ma la palla è costituita da tantissime molecole e atomi, tenuti insieme da delle forze. Perché possiamo trascurare tutte queste complicazioni e trattare la palla come un punto materiale? Prima di tutto perché le forze "interne" tra gli atomi non cambiano la quantità di moto della palla, e poi perché le forze gravitazionali sulla superficie della Terra sono tutte parallele e quindi si comportano come se fossero applicate al centro di massa.

Ehi! Ma  anche il moto dei pianeti si approssima con quello di un punto materiale, ma in questo caso le forze gravitazionali non sono sempre parallele (sono dirette verso il Sole, per esempio).

Sì, ma le dimensioni di un pianeta sono piccole, se confrontate con le dimensioni della sua orbita, e questo giustifica la nostra prima approssimazione.

Ma sia le palle che i pianeti girano (chi ci vede una battutona ha buon gusto), e questo può influenzare la loro traiettoria. Vediamo di trasportare quello che sappiamo sulle traslazioni nel campo delle rotazioni.

Per prima cosa, troviamo l'equivalente della posizione. Nel caso delle rotazioni è ovviamente un angolo. Siamo abituati a misurare le rotazioni in gradi, ma conviene invece introdurre la misura degli angoli in radianti, ovvero in numeri. Misuriamo un angolo attraverso in rapporto tra l'arco della circonferenza corrispondente e il raggio. Questo permette di dare un senso più concreto alla formula della circonferenza: C =2 π r. Cosa è questo pi-greco π, che vale 3,14... ? Beh, l'angolo corrispondente alla circonferenza è l'angolo giro, e in rapporto tra C e r è proprio 2 π. Questo vuol dire che  2 π è la misura di un angolo giro (360°). Quindi π è la misura dell'angolo piatto (180°) e π/2 è la misura di un angolo retto (90°). Per indicare un angolo generico usiamo di solito delle lettere greche come ϑ.

D'altra parte lo spostamento x sulla circonferenza è dato dall'angolo corrispondente α moltiplicato per il raggio r :   x=ϑ r.

Per le traslazioni nello spazio dobbiamo usare dei vettori, perché uno si può spostare in avanti, o verso l'alto, o di lato. Ma anche le rotazioni possono avvenire in varie direzioni. Se prendo un pezzo di polistirolo, posso infilzare tre spiedini di bambù nelle tre direzioni, e far ruotare l'oggetto intorno ad ognuno dei tre spiedini, o anche attorno ad altre direzioni. Mentre per gli spostamenti posso "ricondurre" uno spostamento arbitrario a una somma di spostamenti nelle tre direzioni, questo non sembra possibile per le rotazioni. Se infilzo un quarto spiedino nel mio povero pezzo di polistirolo, posso "ricondurre" la rotazione intorno al mio ultimo spiedino come combinazione di rotazioni intorno agli altri tre?

Per fortuna sì. Anche le rotazioni si comportano come vettori, basta associare ad ogni rotazione la direzione dello spiedino corrispondente, con la regola della vite: la direzione positiva è quella corrispondente all'avanzamento di una vite.


 
Questa era la prima difficoltà, quindi chi abbandona la lettura è giustificato... NOOOOOO! Non mi abbandonate!

Per un po' la strada va in discesa. Abbiamo dato un senso vettoriale alle rotazioni, con la regola della vite (detta anche "della mano destra"). Possiamo quindi introdurre l'equivalente della velocità: come questa è data dalla variazione della posizione nel tempo, così la... velocità angolare è data dalla variazione dell'angolo nel tempo, e di solito la si indica con ω. In realtà è una grandezza che incontriamo spesso: il "contagiri" della macchina ci dice quanti "giri" fa il motore in un minuto

Dobbiamo solo usare la scala appropriata: dato che gli angoli si misurano in radianti, le velocità angolari si misurano in radianti al secondo. Facciamo la conversione: 1 giro al minuto = 2 π / 60 s ≅ 0.1 rad/s. Ovviamente, anche la velocità angolare è un vettore, con la stessa regola degli angoli. E possiamo facilmente proseguire: la variazione della velocità angolare è... l'accelerazione angolare, misurata in rad/s2. Facile.

Ma qual è l'equivalente della forza? Beh, per far girare una chiave nella serratura abbiamo bisogno di due dita, non di uno solo, ovvero di una coppia di forze. Possiamo adottare il termine inglese "torque" e parlare anche di torsione, perché spesso non applichiamo una coppia di forze, ma solo una forza ad un braccio imperniato in qualche maniera. Per esempio, per svitare un dado usiamo una chiave e facciamo forza sul suo gambo, perché il bullone fa da perno. Come si misura la torsione? Come appunto sa chi ha tentato di svitare un dado arrugginito, la sola forza non basta. Infatti raramente si possono svitare i dadi senza le chiavi, per quanto forzuti siamo. E l'effetto della chiave è tanto maggiore quanto più è lunga, e quando non basta la allunghiamo con un tubo finché... il bullone si rompe.

Quindi è abbastanza evidente che la torsione si misura in forza per braccio (newton per metro). Ma non basta avere la forza, dobbiamo esercitarla nella direzione giusta. Se "spingiamo" la chiave verso il dado, non riusciremo mai a svitarlo, mentre tutti sappiamo che la forza deve essere perpendicolare al braccio, o, alternativamente, che solo la parte di forza perpendicolare al braccio contribuisce alla torsione.

Matematicamente questo si esprime usando un "prodotto" speciale tra vettori, il prodotto vettoriale [http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_vettoriale], indicato dal simbolo × :

𝜏 = r × f.

Uff... siamo solo alle forze...pardon, torsioni. Facciamoci forza e continuiamo ancora un momento (un'altra battuta, per chi non se ne fosse accorto..)

Le forze e le accelerazioni sono collegate dalla seconda legge di Newton, f=ma. Vale qualcosa di simile per le rotazioni? Prendiamo l'equivalente di un punto materiale, ovvero un dado legato ad un pezzo di spago o infilzato su un bastoncino leggero (per poter trascurare la sua massa). Imperniamo la corda o l'estremo del bastoncino da qualche parte (lo appendiamo..), ed esercitiamo una forza f sul corpo. Questo accelererà con f=ma, ma ovviamente poi si mette a ruotare intorno al pernio. Proviamo a trasformare f=ma negli equivalenti rotazionali. Per avere una torsione 𝜏 devo moltiplicare la forza f  per il braccio r, e quindi ottengo 𝜏 = m a r. Ma abbiamo visto che lo spostamento sulla circonferenza è dato dal prodotto dell'angolo per il raggio, così la velocità è data dal prodotto della velocità angolare per il raggio e l'accelerazione a è data dal prodotto della accelerazione angolare α per il raggio r. Sostituendo a otteniamo infine
𝜏 = m  r2 α.
Per dargli una bella forma simile a f=ma, definiamo il momento d'inerzia I (che è l'equivalente della massa per le rotazioni) come I = m  r2, così che finalmente abbiamo 
𝜏 = I α.
A questo punto possiamo introdurre l'equivalente della quantità di moto: invece di p=mv abbiamo... il momento angolare
L = I ω.
Anche in questo caso abbiamo che la variazione del momento angolare è dato dalle torsioni, e che le forze interne ad un sistema non possono alterare il momento angolare totale. Per questo i pianeti continuano a girare indisturbati, nonostante le enormi forze interne (che li tengono insieme nonostante le forze centrifughe).

Ma per le rotazioni ci sono effetti più subdoli. Abbiamo visto che la torsione è data dal prodotto forza perpendicolare al braccio per il braccio stesso, e che le forze dirette come il braccio non causano torsione. Beh, la forza che il Sole esercita su un pianeta, o la forza che il filo di una fionda esercita sul sasso è proprio diretta come il braccio stesso. Questo vuol dire che le forze centrali non possono cambiare il momento angolare di un sistema.

Nel caso di un pianeta, questa affermazione corrisponde alla seconda legge di Keplero: la forza tra sole e pianeta non può cambiare il suo momento angolare, che quindi è costante. Ma il momento angolare L (approssimando il pianeta con un punto materiale) è
L = I ω = m r2 v/r = m v r.

Dato che la massa non cambia, questo vuol dire che il prodotto v r è costante, o meglio, che è costante il prodotto di r per la componente di v perpendicolare a r. Questa è proprio la velocità areolare di Keplero.

Finito? Beh, a livello concettuale sì, ma dobbiamo prendere un po' di dimestichezza con la materia. Tanto per scaldarci, troviamo l'equivalente dell'energia cinetica K = 1/2 m v 2. Facile... è 1/2 I ω2.

Però proviamo ad applicare questa regola al rotolamento. Sappiamo che il rotolamento è una rotazione istantanea intorno al punto di contatto con in suolo [LINK ALLA PAGINA DEL ROTOLAMENTO], perché quel punto della ruota è necessariamente fermo, dato che è a contatto con il suolo e la ruota non slitta. Se indichiamo con v la velocità del centro della ruota, con r il suo raggio e con ω la sua velocità angolare, abbiamo subito v = ω r.

Se consideriamo il rotolamento come una rotazione attorno al punto di contatto abbiamo per l'energia cinetica K =
1/2 I ω2, se invece consideriamo il moto come una roto-tralazione abbiamo che l'energia cinetica è data dalla somma dell'energia traslazionale più quella rotazionale, ovvero K = 1/2 m v + 1/2 I ω2.... Qualcosa non torna..

Il fatto è che il momento d'inerzia è una quantità molto più subdola della massa, che rimaneva sempre la stessa qualsiasi cosa accadesse. Il momento d'inerzia dipende dalla distribuzione delle masse intorno all'asse di rotazione, quindi la stessa massa può avere un momento d'inerzia molto diverso a seconda della sua distanza dall'asse.

Non possiamo più procrastinare l'enunciazione del sistema generale per calcolare il momento d'inerzia di un corpo rigido. In principio è facile: il momento d'inerzia di una massa m a distanza r dall'asse di rotazione è I = m r2.
Basta scomporre un corpo in (infinite) massettine e calcolare la somma dei momenti d'inerzia di ognuno di loro. In pratica ci vuole in integrale... ma dato che non siamo così cattivi come avete iniziato a pensare, ecco qui un bel campionario di momenti d'inerzia già calcolati.

Cominciamo con quello di un'asta omogenea sottile lunga l=2 r e di massa m che ruota intorno al suo estremo: Ie = 1/3 m l2. E se l'asse di rotazione passa per il baricentro, che ovviamente sta a metà dell'asta? In questo caso Ib = 1/12 m l2. C'è qualche relazione tra queste quantità? Sì, la possiamo trovare calcolando l'energia cinetica (come abbiamo fatto, sbagliando, per il rotolamento, adesso cerchiamo di farla per bene).

Se l'asta ruota intorno al suo estremo, l'energia cinetica K è K=1/2 I ω2. Ma possiamo considerare il moto anche come una combinazione di traslazione del baricentro più rotazione intorno a questo, K = 1/2 m v2 + 1/2 Ib ω2. Uguagliando abbiamo
1/2 Iω2 = 1/2 m v2 + 1/2 Ib ω2
ovvero, dato che v = (l/2) ω = r ω
Iem r2 Ib

il che ci dà il sistema per calcolare il momento d'inerzia di un corpo rigido per un asse qualunque quando conosciamo quello barincentrale (per l'asse di rotazione diretto nella stessa direzione): bassa sommare al momento d'inerzia baricentrale la massa del corpo per la distanza tra baricentro ed asse al quadrato. Si sono viste cose più semplici ma anche più complicate. Se volete renderlo più complicato potete chiamarlo con il suo nome: "teorema di König"...

Riprendiamo allora il caso del rotolamento: il momento d'inerzia baricentrale per una ruota omogenea di massa m e raggio r è Ir = 1/2 m r2. Il momento d'inerzia rispetto ad un asse passante dalla circonferenza (ovviamente perpendicolare alla ruota) è Ic = Ir + m r2  = 3/2 m r2.

Si noti che l'estensione del corpo nella direzione dell'asse non conta, quello che conta è la distribuzione delle distanze delle masse dall'asse di rotazione. Quindi il momento d'inerzia di un rettangolo che ruota intorno a un asse passante per un suo lato è... lo stesso di un'asta sottile lunga quanto l'altro lato del rettangolo e avente la stessa massa. E il momento d'inerzia di un cilindro che rotola è lo stesso di una ruota (circonferenza) avente la stessa massa e lo stesso raggio.

Potete trovare i momenti d'inerzia di vari oggetti rigidi si internet. Dobbiamo solo ricordare quello di una sfera, visto che magari lo vogliamo applicare ai pianeti.

Il momento d'inerzia baricentrale di una sfera è Is = 2/5 m r2, non molto diverso numericamente da quello di una ruota con lo stesso raggio e la stessa massa.

Purtroppo le cose non sono così semplici (ehm...).

Tutto queste belle cose che abbiamo detto sono valide se l'asse di rotazione è fisso, o se è quello che si dice "un asse principale di inerzia".


Ogni corpo, per irregolare e patatoso che sia, ha tre assi principali di inerzia, perpendicolari uno all'altro [RIFERIMENTO ALLA PAGINA CON L'ESPERIENZA SUGLI ASSI PRINCIPALI DI INSERZIA]. Si riconoscono perché se il corpo viene messo in rotazione attorno a uno di questi assi, non tende a "scodinzolare" e a ribellarsi. Ovviamente se il corpo è simmetrico (nel senso della distribuzione delle masse) , l'asse di simmetria è anche un asse principale di inerzia. Una sfera ruota intorno a qualsiasi asse. Un parallelepipedo (mattone o scatola da scarpe) ruota tranquilla intorno agli assi che passano dal centro delle facce, altrimenti si "agita".



Il problema, che voi avete sicuramente intuito, è il seguente: il momento angolare L è una grandezza vettoriale, che si può calcolare spezzettando il corpo in massettine e prendendo la somma (integrale) su queste del prodotto (vettoriale) tra il raggio che congiunge il baricentro alla massettina, per la massettina stessa per la sua velocità.  Ma questo risultato ha la stessa direzione della velocità angolare ω solo se questa è diretta lungo un asse principale di inerzia. Ovvero la relazione
L = I ω
va letta tenendo conto che ω è un vettore, e I un tensore (una matrice). Nel caso in cui ω sia diretto come un asse principale di inerzia, I è diagonale e tutto diventa più semplice. Matematicamente

(da [http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia]), dove il Σ indica la sommatoria su tutte le massettine che compongono il corpo.

Si può illustrare il problema considerando un manubrio, come nella figura qui sopra. Vogliamo mettere in rotazione il manubrio intorno all'asse z, ma come si vede le due massettine hanno coordinate (a, 0, b) e (-a, 0, b) rispettivamente ai tre assi (x, y, z). Inserendo queste coordinate nella formula per I, si ottiene una matrice non diagonale. La rotazione ω è diretta come l'asse z, ovvero ω=(0, 0, ω). Moltiplicando (righe per colonne, come si fa con le matrici [http://it.wikipedia.org/wiki/Moltiplicazione_di_matrici]) I per ω si ottiene L, che ha sia una componente lungo x che una lungo z. Dato che noi vogliamo obbligare il corpo a ruotare lungo z, dobbiamo eliminare la componente x di L e per farlo dobbiamo esercitare una torsione. Se realizzassimo fisicamente questo sistema, dovremmo per esempio saldare il manubrio su un canotto per farlo ruotare come vogliamo noi, ed è la saldatura ad esercitare la torsione necessaria.

Si noti che se noi disponessimo il manubrio orizzontalmente (b = 0) o verticalmente (a = 0), I diventerebbe diagonale, L parallelo a ω e non avremmo più torsioni indesiderate (nel caso del manubrio infinitamente sottile, se mettiamo a=0 abbiamo un momento d'inerzia nullo lungo z).

Si può visualizzare il problema prendendo una ruota di bicicletta (di ferro) e agganciando due calamite abbastanza pesanti in due punti simmetrici della ruota, per esempio una in corrispondenza della valvola, e l'altra dalla parte opposta, dall'altro lato della ruota. In questa maniera non abbiamo cambiato la posizione del baricentro, ma l'asse della ruota non è più un asse principale di inerzia. Se ora mettiamo in rotazione la ruota tenendola per il suo asse, sentiamo che tende a "divincolarsi" perché vorrebbe ruotare intorno ad un asse un po' inclinato rispetto a quello su cui è forzata.

Ovvero, considerando il "punto di vista" del corpo: la velocità angolare ω non è diretta come un solo asse d'inerzia, ma ha delle componenti su altri assi. Questo vuol dire che il corpo non ruota solo intorno ad un asse, ma anche intorno ad un altro o a tutti e due gli altri. Ma noi, tenendo in mano la ruota di bicicletta, lo obblighiamo a ruotare in una direzione, e per far questo dobbiamo esercitare delle torsioni, che è proprio lo "scodinzolamento" sentito.

Si può anche procedere in senso opposto: facciamo ruotare un corpo intorno ad un suo asse principale di inerzia (per esempio una trottola o una ruota di bicicletta) e poi applichiamo una torsione in una direzione diversa. Che succede?

Pensiamo ad una trottola che ruota e che è un po' inclinata rispetto alla verticale.

 
Il suo momento angolare è nella direzione di rotazione, ma la forza di gravità esercita una torsione che, usando la regola della vite, vediamo che è perpendicolare a L. Facendo riferimento alla figura seguente
si vede che mentre
L sta nel piano ZY0, il peso della trottola (e la reazione vincolare) danno un momento 𝜏  in direzione X0.  Da  ΔL/Δt = 𝜏 abbiamo che il momento angolare cambia, con un contributo nella direzione di 𝜏. La trottola cambia il suo momento angolare sommando una componente diretta come 𝜏, ma questo vuol dire che la trottola adesso ruota intorno ad un diverso asse. Come si vede nella figura, questo fa sì che l'asse di rotazione descriva un cono rispetto alla verticale, il famoso moto di precessione delle trottole. [INSERIRE RIFERIMENTO ALL'ESPERIMENTO DI PRECESSIONE DELLA RUOTA DI BICICLETTA] Questa "reazione" alla forza di gravità stupisce sempre, uno si aspetterebbe che la trottola "cada", come fa quando è non ruota. In realtà, quando non è in rotazione (L=0), la trottola non "cade": la combinazione della forza peso e della reazione vincolare nel punto di contatto danno una coppia, una torsione 𝜏, e la trottola ruota intorno all'asse X0, ovvero L, da nullo che era, passa a qualcosa di diverso da zero nella direzione di 𝜏, sempre seguendo la legge ΔL/Δt = 𝜏 .

Per una trattazione più matematica, potete consultare questa pagina: http://personalpages.to.infn.it/~marocchi/Giroscopio.htm

L'ultima, ultimissima cosa da dire, è che il momento angolare di un corpo che rotola e gira intorno ad un asse, come fanno i pianeti nelle loro orbite, è dato dalla somma vettoriale del momento angolare intrinseco, dato dalla sua velocità angolare e dal suo momento di inerzia, più il momento angolare orbitale, dato dalla velocità angolare di rivoluzione, dalla distanza dall'asse (ovvero dal Sole) e dalla sua massa. E' lo stesso calcolo che abbiamo fatto per il rotolamento, solo che nel caso di un pianeta non c'è nessuna relazione tra velocità di rotazione e velocità di rivoluzione (a meno di un accoppiamento spin-orbita)

 traslazioni 
rotazioni
In una dimensione: r=r(t)
Lungo un solo asse: ϑ = ϑ(t)
In più dimensioni: r=r(t) =  x(t)i + y(t)j + z(t)k In più dimensioni: ϑ=ϑ(t) = ϑx(t)i + ϑy(t)j + ϑz(t)k
Velocità: v = Δrt;  v = Δrt
Velocità angolare:  ω = Δϑ/Δt;   ω = Δϑt
Per una rotazione intorno ad un asse fisso: v = r ω
Vettorialmente: v = r × ω
Accelerazione: a = Δvt; a = Δvt Accelerazione angolare: α = Δωt; α = Δωt
Massa: m
Per un corpo esteso: M = Σi mi
Momento d'inerzia (rigidi): I = Σi mi di2,
di = distanza di mi dall'asse di rotazione.
Somma di tutte le massettine per la loro distanza dall'asse di rotazione al quadrato.
In genere I = è un tensore (matrice), tranne che se la rotazione avviene intorno ad un asse principale di inerzia.
Forza: f = m a
Torsione: 𝜏 = r × f; 𝜏 = I α
Quantità di moto: p=m vf = Δqt;
Per un corpo esteso: pi mi vi
Momento angolare: L = r × p = m r × v
Per un corpo esteso: L = Σi mi (ri × vi) = I ω
Energia cinetica: K = 1/2 m v2
 Energia cinetica: K = 1/2 I ω2



Adesso, armati di tutta questa conoscenza, potete affrontare spavaldamente i paradossi delle rotazioni [INSERIRE RIFERIMENTI].

Franco Bagnoli
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