Pesare pi greco

Pi greco (π) è una cosa abbastanza misteriosa, che appare in molte formule matematiche e fisiche. Ma sicuramente ha affascinato gli umani fin dai loro primordi, prima ancora di conoscere la matematica.

 Dall'arido punto di vista della matematica, non è altro che un numero, una costante matematica, [http://it.wikipedia.org/wiki/Pi_greco] che però ha un numero infinito di cifre decimali, ben al di là del famoso 3,14.. Se volete guardare le prime 100.000 cifre, essole qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Pi_greco_%28prime_100_mila_cifre%29, ma forse ne volete un milione? eccole! http://www.piday.org/million/, e se proprio non vi accontentate, penso che ne siano state calcolate più di 13 milioni [http://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80]..

Il fatto che π abbia così tante cifre non è molto speciale. Noi siamo abituati ai numeri "semplici", tipo 1, 2, 12350, 3,5 e così via. Ovvero numeri che si possono rappresentare come interi o come frazioni con denominatore piccolo. Ma il fatto è che questi numeri, detti razionali (che comprendono anche frazioni con denominatore arbitrariamente grande) sono solo "polvere" rispetto a tutti gli altri numeri, detti irrazionali. Ovvero, se potessimo fare un segno arbitrariamente piccolo e preciso su una sbarra, e misurare il rapporto tra l'estremo della sbarra e il segno, rispetto alla lunghezza della sbarra, avremmo con probabilità 1 un numero irrazionale. Infatti, i numero irrazionali (ovvero: la cui rappresentazione in una qualsiasi base contiene un numero infinito, non periodico di cifre dopo la virgola) sono "densi": tra ogni coppia di numeri razionale ce ne sono una infinità irrazionali. E non è difficile capire perché: i due numeri razionali sono rappresentabili con un numero finito di cifre dopo la virgola seguite da zero o che si ripetono periodicamente. Tra i due, prendendo le prime cifre comuni, c'è sempre spazio per inserire cifre intermedie,  dando un numero irrazionale intermedio, e si può continuare questo processo all'infinito.

Se l'idea di questa infinita precisione vi ripugna, sappiate che non siete soli. Ripugna anche a me e ripugnava anche Richard Feynman, che probabilmente ne sapeva un po' più di me. Chiaramente, per una sbarra reale è impossibile fare un segno con precisione arbitraria, la sbarra è fatta di atomi e quindi in fondo in fondo si parla di numeri interi. Ma l'idea che una quantità arbitrariamente piccola di spazio contenga sempre una quantità infinita di informazione (il numero di cifre necessario per rappresentare la sua estensione, per esempio) è veramente difficile da mandare giù [R. Feynman, Simulating physics with computers, International Journal of  Theoretical Physics,  21, 467 (1982)].

Tanto più che per la nostra mente questi numeri irrazionali sono molto difficili da capire, anche perché non sappiamo visualizzarli. In effetti, solo a una manciata di loro è stato dato un nome, come appunto π, e, φ (la sezione aurea, φ = (1+ √5)/2), a parte le radici varie (tipo  √2).

Normalmente π appare quando si parla di angoli. Nel mondo scientifico-matematico gli angoli si misurano in radianti, ovvero misurando il rapporto tra l'arco della circonferenza descritto dall'angolo e il raggio della circonferenza stessa. E' un sistema comodo (si veda contare le pecore), ma ha lo svantaggio che gli angoli più comuni (l'angolo retto, l'angolo piatto e l'angolo giro) si rappresentano con π: angolo retto=π/2, angolo piatto = π, angolo giro = 2π. Non so perché π rappresenti l'angolo piatto invece dell'angolo giro, come sarebbe per me più logico, ma penso che sia ormai tardi per proporre dei cambiamenti.

Ovviamente π entra nel calcolo delle proprietà della circonferenza, del cerchio, della sfera e delle varie ipersfere (sfere in più dimensioni) [http://it.wikipedia.org/wiki/Ipersfera].

Supponiamo però di essere in pieno medioevo o anche prima, e di voler calcolare il valore di π sapendo per esempio che la superficie S del cerchio di raggio r è S = π r2, ma poco altro. Come procedere?

L'idea è quella di misurare separatamente il raggio e la superficie del cerchio e fare il rapporto tra S e r2, ma il problema è che non è facile misurare le superfici. Bisognerebbe, che so, ricoprirle di quadrati piccoli piccoli e contare quanti ce ne stanno.. una cosa non molto pratica. Per fortuna, c'è un sistema che già usava Galileo, sfruttando la bilancia per misurare le aree: basta disegnare accuratamente la nostra figura su un cartoncino omogeneo (oggi è facile, immagino che nel medioevo già sarebbe stato difficile...), ritagliare il tutto e poi pesare le varie componenti.

Se il quadrato ha lato 2 ℓ e area Aq = 4 ℓ2, il cerchio ha area Ac = π ℓ2 e quindi il rapporto area cerchio/area quadrato vale  

Ac / Aq = π/4.

A dire la verità, ci sono anche altri metodi. Per esempio, supponiamo che non siate convinti che la formula per l'area del cerchio valga anche per cerchi grandi, diciamo di raggio ordine 1 m o anche di più. Non è una idea così strampalata: noi ci fidiamo che la geometria dello spazio sia essenzialmente euclidea, almeno se non andiamo troppo vicino al Sole o a un buco nero, ma giustamente bisognerebbe provarla sperimentalmente.

Questo si può fare in maniera più sofisticata, ma supponiamo di volersi intestardire per voler misurare le aree di cerchi sempre più grandi, e quindi di calcolare π. Come fare quando il diametro del cerchio supera la massima estensione di un rotolo di carta? Incollarne due?

Si può procedere con un metodo diverso, chiamato Monte Carlo perché ha a che fare con i casinò. Infatti, fu formalizzato mentre  Enrico Fermi, John von Neumann e Stanisław Marcin Ulam stavano lavorando ai calcoli per la bomba atomica [http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_Monte_Carlo]. Il nome fu inventato in seguito da Nicholas Constantine Metropolis, sembra ispirandosi allo zio di Ulam che era solito rovinarsi giocando alla roulette dello stato monegasco.

Il metodo è in fondo molto semplice: si disegni in terra un cerchio inscritto in un quadrato, e si gettino sopra dei sassolini, in maniera che la loro distribuzione sia uniforme (questa è la parte difficile). Calcolando il numero di sassolini dentro il cerchio rispetto a quelli dentro il quadrato, abbiamo il rapporto tra le aree e quindi ci possiamo ricavare π.

Ma cosa fare se per esempio il cerchio ha le dimensioni di un areoporto? Non si può mica sperare di gettare sassolini con distribuzione uniforme sopra tale superficie...

Per fortuna, esiste un altro metodo: partiamo da un punto qualsiasi, chiudiamo gli occhi, giriamo su noi stessi e gettiamo un sasso a caso. Quindi andiamo dov'è caduto il sasso, ripetiamo l'operazione e cosi via. L'idea è quella di coprire il quadrato con una distribuzione di sassi uniforme. Ma prima o poi succederà di gettare un sasso oltre il bordo del quadrato... ahi ahi.. che si fa? Facciamo finta di nulla?

No, l'idea è che per avere una distribuzione uniforme, dividendo il nostro campo (il quadrato) in pezzetti uguali (diciamo dei sottoquadrati), dobbiamo fare in maniera che la probabilità di andare da un sottoquadrato a un altro dev'essere simmetrica (altrimenti alla fine ci troviamo più spesso da una parte rispetto ad un'altra, ovvero la nostra distribuzione non è uniforme). Guardiamo l'immagine seguente

Dal quadrato centrale abbiamo la stessa probabilità di andare nei quadrati intermedi ai lati, e da questi ci dev'essere la stessa probabilità di andare nei quadrati agli angoli. Ma quest'ultimi hanno due lati esterni (da cui i sassi possono uscire) e quelli intermedi uno.. vuol dire che quando il sasso esce, dobbiamo restare nel quadrato, contando però il "colpo". Ovvero, la regola è: se il sasso esce, ne lasciamo cadere un altro dove siamo (che poi sarà contato) e continuiamo il gioco. In questa maniera compensiamo il fatto che è più difficile entrare nei quadrati periferici con il fatto che è anche più difficile uscirne.

Purtroppo, il metodo Monte Carlo, che è così elegantemente semplice, soffre di una grave carenza... la convergenza verso il risultato esatto è lenta, va come la radice quadrata del numero di tentativi.

[METTERE GRAFICO CONVERGENZA NUMERICA A PI]

Il metodo Monte-Carlo si presta anche ad un altro sistema, completamente differente, per calcolare π, detto dell'ago di Buffon [http://it.wikipedia.org/wiki/Ago_di_Buffon], che si può eseguire a casa usando degli stuzzicadenti o fiammiferi (parecchi). Abbiamo bisogno di un pavimento diviso in righe, ma le piastrelle sono adeguate. Calcoliamo la probabilità che uno stuzzicadenti intersechi una riga (abbiamo bisogno di un po' di conoscenza di analisi), supponendo che le righe siano spaziate da una distanza h maggiore della lunghezza b dello stuzzicadenti. Perché questo accada, lo stuzzicadenti che, supponiamo, è inclinato, rispetto alla perpendicolare alle righe, di un angolo φ, dev'essere ad una distanza z dalla riga minore di (b/2) sin(φ).

La probabilità P dell'intersezione è quindi, supponendo di lanciare gli stuzzicadenti con orientamento e posizione casuali, uniformemente distribuiti, 

Infatti, se il centro dello stuzzicadenti è uniformemente distribuito tra 0 e h, la sua densità di probabilità è dz/h, e se l'angolo φ è uniformemente distribuito tra 0 e π/4, la sua densità è 4 dφ/π. Eseguendo gli integrali, si ottiene

P = 2b/h π,

e quindi, calcolando P come rapporto tra le intersezioni m e il numero totale di stuzzicadenti n, si ottiene la stima di π,

π  ≃ 2 b n / h m.

Come nel caso precedente, la convergenza con il numero dei tentativi n è piuttosto lenta...

[INSERIRE RESOCONTO ESPERIMENTO]

Facendo il calcolo per i fiammiferi dell'immagine (in cui 2b = h) otteniamo  π  ≃ 34/11 = 3.1 .

Franco Bagnoli.