Vettori (traslazioni e rotazioni)

Abbiamo visto tante volte che la fisica si esprime bene in termini di vettori, basti pensare agli spostamenti, alle velocità, ecc.

Dobbiamo quindi fare uno sforzo ed un lamento e parlare di queste quantità.

Prima di tutto dobbiamo definire cos'è lo spazio. Prendiamo per semplicità un piano. Vogliamo che questo oggetto non "cambi" da solo, e vogliamo poterlo spostare o ruotare a volontà, senza che cambi la distanza tra ogni coppia di punti. Abbiamo quindi bisogno di un corpo rigido. Anche un foglio di carta va bene, se non lo strappiamo e non lo pieghiamo, mentre non va bene un foglio di gomma. Quando parliamo di uno spazio conviene pensare ad un corpo rigido, che può essere spostato, ruotato ma non deformato. Ovviamente poi inseriremo anche la possibilità di deformare gli spazi, ma per ora teniamocelo così.

Un vettore è una freccia nello spazio, o, quando è il caso, su un piano, ovvero un segmento orientato (di solito lo si disegna appunto come una freccia), di una data lunghezza. Il prototipo ideale di un vettore è un piccolo spostamento lineare: si prenda una penna, la si appoggi sul foglio, e si sposti la mano di un piccolo tratto: ecco un vettore. Ho detto piccolo perché ovviamente si possono disegnare tante forme, ma nel limite in cui il tratto è piccolo, tutte le curve diventano dei segmenti. Pensando al gesto temporale del disegno, abbiamo che il prototipo di un vettore è dato dalla velocità con cui si muove un punto (la punta della nostra penna). La velocità è un vettore, sempre tangente alla curva che stiamo disegnando.

I vettori si indicano con delle lettere in grassetto, per esempio a. I vettori si possono traslare tenendoli sempre paralleli a sé stessi, e si possono anche sommare attaccandoli di seguito (testa-coda)

Il vettore nullo (o) è un segmento di lunghezza zero, e pertanto non ha orientamento.

L'opposto di un vettore (-a) è il vettore "girato" che ha la testa al posto della coda e viceversa, così che si ha

a+(-a) = a-a = 0

I vettori si possono poi "allungare" o "accorciare" moltiplicandoli per dei numeri, così che si può fare il vettore doppio di un vettore dato (2a), quello metà(1/2a), ecc.

I punti dello spazio (o di un piano) si possono far corrispondere a dei vettori che vanno da un punto che definiamo essere l'origine (O) al punto in questione (P). Questi vettori non possono essere traslati individualmente, si chiamano "vettori applicati". Indichiamo i vettori applicati con la notazione P-O (P meno O) perché così possiamo facilmente trattare il caso di somma o sottrazione di vettori, e poi il vettore che va da O a P è proprio dato dalla differenza tra un qualsiasi vettore che termina in P e un qualsiasi vettore che termina in O.

Se vogliamo cambiare l'origine del sistema di riferimento, per esempio passandola al punto O', basta sommare il vettore O-O' a tutti i vettori del nostro spazio:

P - O + O - O' = P - O'

Questo è un esempio di una traslazione: tutti i vettori sono stati modificati in ugual misura, sommando loro un vettore comune.

Una operazione importante tra vettori è il prodotto scalare. Il prodotto a⋅b è dato dal prodotto della lunghezza di a per la lunghezza di b per il coseno dell'angolo tra i due vettori, o anche del prodotto di b per la proiezione di a nella direzione di b (o viceversa). 

Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso ci dà il quadrato della sua lunghezza, quindi potremmo anche dire che il prodotto scalare è una operazione "assiomatica" e da lì derivare il concetto di lunghezza. Attraverso il prodotto scalare possiamo definire la distanza d tra due punti P e Q:

d2 =  (P-Q) ⋅ (P-Q)

I vettori di modulo (o "norma") uno sono molto utili, tanto che hanno un loro nome: si chiamano versori e si indicano a volte con un accento circonflesso (â). Il prodotto scalare di un vettore b con un versore â ci dà la proiezione di b nella direzione di â.

Passiamo adesso a introdurre le rotazioni. Una rotazione è una trasformazione dello spazio che mantiene inalterata la distanza dei punti tra loro (come la traslazione) e anche la distanza di tutti i punti da una retta, detta asse di rotazione. In un piano, la distanza che si conserva è quella tra i punti e un punto detto centro di rotazione (che non è altro che l'intersezione dell'asse di rotazione con il piano stesso).

Dato che in un moto arbitrario l'asse di rotazione può non essere fisso, conviene considerare rotazioni infinitesime. Consideriamo i punti di un piano, per fare le cose semplici, e vediamo cosa fanno in una rotazione infinitesima. Sperimentalmente, conviene prendere un cartone e un foglio (il nostro piano). Infilziamo una puntina da disegno nel cartone attraverso il foglio, così da costituire il nostro centro di rotazione. Facciamo alcuni fori nel foglio con la punta della penna o di un lapis, e facciamo ruotare di poco il nostro foglio, segnando lo spostamento dei fori sul cartone. Quindi leviamo il foglio. Sul cartone sono rimasti dei piccoli segmenti, e il segno della puntina. Dato che i fori devono stare sempre alla stessa distanza dalla puntina, le tracce della penna devono essere dei piccoli archi di cerchio centrati sul centro di rotazione (la puntina). Quindi, se tracciamo il segmento che va dal centro di rotazione ad ognuno dei nostri fori, vediamo che è perpendicolare all'archetto segnato sul cartone. Questo è il sistema per trovare il centro di rotazione per una rotazione sconosciuta: facciamo una piccola rotazione, tracciamo la traiettoria di qualche punto e le perpendicolari a queste traiettorie. Questi segmenti si intersecano nel punto di rotazione.

Esempio: porta di autobus. In molti autobus le porte si aprono "ruotando"

e lo schema delle cerniere è il seguente [FARE DISEGNO]

Ovvero: la porta è incernierata su un braccio che a a sua volta fa un giro. Considerando solo la porta, questa istantaneamente sta ruotando intorno ad un punto che a sua volta fa una rotazione intorno ad un altro asse. dato che il movimento della porta è tale che le sue due estremità si muovono l'una sul filo dell'apertura e l'altra su un segmento perpendicolare a questa, lo stesso tipo di movimento è seguito da una scala che cade slittando su una parete, o dalle porte basculanti di alcuni garage

Esempio: rotolamento. Un altro esempio di rotazione intorno ad un punto fisso è dato dal rotolamento senza strisciamento.

Nel rotolamento senza strisciamento il punto di contatto del cerchio con il pavimento è fermo (altrimenti striscerebbe). Se si prende un cerchio di qualsiasi materiale, lo si fa rotolare lungo il bordo di un foglio, e si traccia, usando un pennarello, le traiettore di alcuni punti si vede la figura seguente (per piccole rotazioni)

come si vede, tutte le velocità sono perpendicolari alle rette che congiungono i punti corrispondenti con il punto di contatto con il suolo. Quello è il centro di istantanea rotazione, che ovviamente cambia da istante a istante (e non è solidale con il cerchio).