Paperone ed il deposito sotterraneo

L'avventura "Paperone ed il deposito sotterraneo" (1987) di Giorgio Pezzin, disegnata da Giorgio Cavazzano [http://coa.inducks.org/story.php?c=I+TL+1122-B] inizia con Paperone esasperato dai continui tentativi di furto da parte della Banda Bassotti.

Per cercare di scoraggiare altri tentativi di furto, Paperone decide di costruire un deposito sotterraneo. Purtroppo, i Bassotti vengono a sapere del piano e durante la costruzione, mascherati da operai, riescono a nascondere delle casse di dinamite sotto il pavimento del deposito sotterraneo

Mentre Paperone, Paperino e i nipoti Qui, Quo e Qua stanno scendendo con l'ascensore, i Bassotti fanno esplodere la dinamite, cosicché dollari e ascensore (contenente i paperi) vengono scagliati in alto.

I paperi sopravvivono alla tremenda accelerazione.

Dopo poco però si accorgono che l'ascensore si separa dalla massa dei dollari e inizia a cadere verso il basso. Uno dei paperini trova subito la spiegazione: "E' logico! L'ascensore pesa di più di un dollaro e quindi comincia prima a scendere!"

Dopo essere sopravvissuti anche all'atterraggio, i paperi ed i Bassotti attendono invano il rientro dei dollari, e temono che possano essere entrati in orbita.

Anche in questo caso, è uno dei paperini che "scopre" il motivo della scomparsa dei dollari: "Siamo stati sciocchi a non pensarci prima! Colpa della rotazione della Terra!  Mentre erano in aria la Terra si è

spostata ruotando sul suo asse!"

"Secondo i calcoli dovrebbero essere [atterrati] a 80 km a ovest di Paperopoli!"

Ovviamente la conclusione non è così semplice. Dopo aver percorso gli 80 km di corsa, scopriranno che i dollari sono finiti in mare e Paperone costringerà i Bassotti a recuperarli.

La storia presenta un certo numero di errori di fisica. Quali?

Non ci riferiamo qui alla capacità di sopravvivere ai traumi, cosa che appartiene alla "fisica dei fumetti" [http://en.wikipedia.org/wiki/Cartoon_physics], che possono essere assimilati ai cartoni animati. Come spiegato esplicitamente in "Chi ha incastrato Roget Rabbit" [http://it.wikipedia.org/wiki/Chi_ha_incastrato_Roger_Rabbit], i cartoni possono morire  solo dal ridere o se vengono sciolti nella "salamoia", mentre si riprendono da qualsiasi traumi senza conseguenze, riportando al limite un leggero stordimento. Ovvero: L'animazione segue le leggi della fisica, a meno che il contrario risulti più divertente. . 

Per un autore di fumetti la fisica (e tutte le scienze) costituiscono stimoli immaginifici che non necessariamente  si traducono in una trattazione accurata. G. Pezzin, autore della storia, commenta

In effetti non avevo fatto veri calcoli scrivendo la storia. A me interessava di più l'effetto complessivo. L'idea l'ho avuta leggendo appunto Verne, ma soprattutto mi piaceva l'immagine di una ``fucilata di dollari'', soprattutto se disegnata da Cavazzano.

Tuttavia, quando si invocano esplicitamente le leggi della fisica umana, data la popolarità dei fumetti si corre il rischio di  lasciare tracce pericolose nei futuri studenti di fisica, ingegneria, ma non solo... Cerchiamo qui di rimediare, per quanto possibile. 

Gli errori che si possono rimarcare sono:

• 1. Durante il volo in caduta libera, dopo l'esplosione, i paperi stanno ritti sul pavimento come se questo fosse in quiete.

  2. L'ascensore si separa dalla massa dei dollari in virtù del suo peso.

  3. Si teme che i dollari siano entrati in orbita.

  4. Il punto di  caduta si sposta verso ovest di 80 km a causa della rotazione terrestre.

Prima di inoltrarci nei calcoli (come vedremo necessariamente approssimati), cerchiamo di fissare un minimo le idee.

Eseguiremo i calcoli nel sistema di riferimento accelerato dell'osservatore sulla superficie terrestre. L'accelerazione di gravità g in funzione della distanza dal centro della terra r è

g = G MT/RT2,

dove MT  ≃  5,98·1024 km è la massa terrestre, RT  ≃  6,372·106 m è il raggio medio terrestre e G ≃ 6,67·10-11 m3/kg s2 è la costante di gravitazione universale. Scrivendo r=RT + h, con h altezza dal suolo, si ha

g= G MT/(RT+h)2 ≃ G MT/RT2 (1-2 h/RT).

Quindi l'approssimazione di forza peso indipendente dalla quota ha un errore del 1% circa ogni 31,5 km di altezza raggiunta.

Detta v0 la velocità iniziale, il tempo di volo in assenza di attrito dell'aria è τ = 2v0 /g. L'altezza massima hm raggiunta (in assenza di attrito dell'aria) è hm = vo2 /2g.

In presenza di attrito viscoso (valido alle basse velocità) dell'aria (Fa = -γ v), con il coefficiente γ che dipende dalle dimensioni e dalla forma dell'oggetto in moto, si ha

h= m v0/γ  - m2g/γ2  log(1+γv0/(m g)).

L'altezza di 31,5 km si raggiunge in assenza di attrito dell'aria per una velocità iniziale di circa 790 m/s. In presenza di attrito dell'aria, con un coefficiente realistico γ =0,1 kg/s, la velocità necessaria per una massa m = 1 kg è circa 3500 m/s (molto superiore alla velocità dei proiettili). D'altra parte il moto non è sicuramente viscoso (ma piuttosto turbolento), e inoltre l'atmosfera è spessa solo qualche chilometro, con grandi variazioni di densità e temperatura, questo porterebbe ad utilizzare una formula differente per l'attrito dell'aria con un coefficiente dipendente dall'altezza. Questo per far capire quanto siano approssimati i calcoli seguenti.

Vediamo comunque le forze  che agiscono su di un proiettile:

 Fpeso = - m gj,

Faria = -γ v,

FCoriolis = -2 m ω ⨉  v,

  Fcentrifuga = -m ω ⨉ (ω ⨉ r).

Per un corpo di massa 1 kg assumendo g = 9,81 m/s2, e una velocità di rotazione terrestre ω ≃ 7,27·10-5 rad/s (ovvero 1 giro al giorno) e γ = 0,1 kg/s, si hanno  i rapporti fra i moduli (con v0 =1000 m/s)

  Faria/Fpeso = 10,

FCoriolis/Fpeso =  0,0148,

  Fcentrifuga/Fpeso = 0,0034.

Ne segue che non si può trascurare la forza di attrito dell'aria, pur non sapendo bene come modellizzarla. La forza centrifuga è trascurabile perché piccola e diretta come la forza peso (all'equatore) mentre la forza di Coriolis NON è trascurabile perché, pur piccola, è diretta perpendicolarmente alla forza peso (all'equatore).

Eseguiremo  comunque i calcoli prima in assenza di attrito da parte dell'aria, e vedremo che si possono ottenere i risultati con carta e penna. Passeremo poi alla discussione in presenza di attrito viscoso, ma solo come esercizio di calcolo. Approssimeremo g = 10 m/s2

Errori di fisica n. 1

Il primo errore di fisica consiste nel fatto di rappresentare i paperi in piedi nell'ascensore anche se questo è in caduta libera.

Facciamo prima le considerazioni nel vuoto.  Il sistema di riferimento dell'ascensore è un sistema in moto accelerato con accelerazione pari a g. All'interno di un tale sistema di riferimento si osserva una forza fittizia di valore -g cioè tale da cancellare esattamente la forza peso. Quindi, relativamente all'ascensore, i paperini dovrebbero galleggiare "senza peso"; In effetti gli esperimenti (e i film) in condizioni di gravità ridotta vengono proprio realizzati in sistemi in caduta libera, per esempio all'interno di un aereo in caduta libera [http://en.wikipedia.org/wiki/Reduced_gravity_aircraft]

o in appositi contenitori lasciati cadere da una torre, senza dimenticare le navicelle spaziali in orbita intorno alla terra (che probabilmente nel prossimo futuro diventeranno convenienti economicamente anche per la cinematografia) o la stazione spaziale  internazionale.

Si può anche fare riferimento al principio di equivalenza debole, ovvero al fatto che localmente non è possibile distinguere un campo gravitazionale dall'accelerazione di un sistema di riferimento non inerziale, principio che facilmente porta a calcolare la deviazione di un raggio luminoso in un campo gravitazionale (ma solo la metà dell'effetto totale) [INSERIRE RIFERIMENTO CALCOLO DEVIAZIONE RAGGI LUMINOSI].

Senza ricorrere ai sistemi di riferimento non-inerziali, quando un sistema è soggetto solo alla forza di gravità, e questa si può considerare omogenea, nessun sottosistema viene accelerato diversamente dal resto, perché la forza di gravità, come la forza di inerzia, agisce su tutte le parti di un corpo. L'errore nel fumetto può servire a mettere in evidenza che noi, con i nostri sensi, non "sentiamo" la forza di gravità. Quello che ci dà il senso del "peso" è in realtà la reazione vincolare del suolo, che ci impedisce di sprofondare, trasmessa attraverso le nostre ossa al resto del corpo.

La stessa spiegazione fisica è alla base dei traumi che vengono causati dalle brusche accelerazioni (o più probabilmente. dalle decelerazioni, per esempio durante un incidente automobilistico). Quello che ci causa danni non è la decelerazione, ma il fatto che venga impartita solo ad una parte del nostro corpo da un vincolo (per esempio il parabrezza della nostra auto).

La massima accelerazione sopportabile senza danni da un essere umano varia con la posizione del corpo, per una posizione "generica" non deve superare i 3 g (g è l'accelerazione di gravità, 9,8 m/s), ma può arrivare a più di 10 g se il corpo è sdraiato. Durante un urto può superare le centinaia di g.

Rimanendo all'interno della letteratura di fantasia, che le brusche accelerazioni causino danni è, per esempio, ben presente in J. Verne, che, nel romanzo "Dalla Terra alla Luna", a cui in fondo questo fumetto si ispira, usa degli ammortizzatori ad acqua per permettere ai protagonisti di sopravvivere (anche se uno dei due cani imbarcati morirà per i traumi subiti). Lo stesso Verne nel romanzo "Intorno alla Luna" commette un errore simile a quello qui esaminato quando descrive come l'effetto di "assenza di peso" si possa apprezzare solo per un breve momento vicino al punto di equilibrio tra le attrazioni terrestre e lunare.

DALLA TERRA ALLA LUNA

 [...] Difatti la traiettoria del proiettile correva dalla Terra alla Luna. A mano a mano che si allontanava dalla Terra, l'attrazione terrestre diminuiva in ragione inversa dei quadrati delle distanze, ma anche l'attrazione lunare aumentava nella stessa proporzione. Doveva, dunque, arrivare un punto dove le due attrazioni si neutralizzavano e quindi il proiettile avrebbe perso tutto il suo peso. Se le masse della Luna e della Terra fossero state eguali, questo punto sarebbe stato equidistante dai due astri. Ma, data la differenza delle masse, era facile calcolare che il punto era situato a quarantasette cinquantaduesimi del viaggio e cioè, in cifre, a settantottomila cento e quattordici leghe dalla Terra.

In questo punto un corpo, che non avesse avuto in sé nessun principio di velocità o di spostamento, sarebbe rimasto eternamente immobile, perché attirato con forza eguale dai due astri, senza che nulla lo sollecitasse più verso l'uno che verso l'altro.[...]

Ora, come riconoscere se il proiettile aveva raggiunto il punto neutro a settantottomila cento e quattordici leghe dalla Terra?

Lo avrebbero riconosciuto al preciso momento in cui né essi né gli oggetti del proiettile, avrebbero più subito la legge di gravità.

Fin qui i viaggiatori, anche percependo che quell'azione andava diminuendo sempre di più, non ne avevano riconosciuto ancora l'assenza totale. Ma quel giorno, verso le undici del mattino, Nicholl si fece scappare un bicchiere di mano e il bicchiere, invece di cadere, rimase sospeso nell'aria.

— Oh! — esclamò Michel — ecco un'esperienza fisica davvero divertente.

Subito diversi oggetti, armi, bottiglie abbandonate a se stesse rimasero librate come per miracolo. Anche Diana, posta nello spazio da Michel, riprodusse, ma senza nessun trucco, la meravigliosa sospensione fatta dai Caston e dai Robert-Houdin. Né la cagnetta sembrava accorgersi d'esser librata nell'aria.

Essi stessi, sorpresi, stupefatti, nonostante i loro ragionamenti scientifici, sentivano che in quel dominio del meraviglioso nel quale erano arrivati, da uomini avventurosi, il peso mancava ai loro corpi.

Se stendevano le braccia, esse non tendevano più ad abbassarsi. Le teste vacillavano sulle spalle. I piedi non aderivano più al fondo del proiettile. Erano come ubriachi che non hanno più stabilità. La fantasia ha creato uomini privi di riflessi, altri privi di ombra! Ma qui la realtà, in virtù della neutralità delle forze attrattive, formava uomini nei quali più nulla pesava e che non pesavano più nulla essi stessi.[...]

I suoi amici lo raggiunsero in un istante e tutti e tre, al centro del proiettile, rappresentavano una miracolosa ascensione.

— Ma è una cosa credibile? È verosimile? È possibile? —

esclamava Michel Ardati. — No. Eppure è vero! Ah! se Raffaello ci avesse visti così, che Assunzione avrebbe buttato giù sulla sua tela!

— L'Assunzione non durerà — rispose Barbicane. — Se il

proiettile passa il punto neutro, l'attrazione lunare ci attirerà verso la Luna.

— E allora i nostri piedi poggeranno sulla volta del proiettile — rispose Michel.

— No — disse Barbicane — perché il proiettile, che ha il centro di gravità molto in basso, piano piano si rivolterà.

— Ma allora tutta la nostra sistemazione sarà messa sotto sopra, è la parola giusta!

— Rassicurati, Michel — rispose Nicholl. — Non c'è da temere nessun caos. Gli oggetti non si muoveranno poiché l'evoluzione del proiettile avverrà insensibilmente.

— Infatti — interloquì Barbicane — e quando esso avrà lasciato il punto di attrazione eguale, la sua culatta, relativamente più pesante, lo trascinerà seguendo un movimento perpendicolare alla Luna. Ma perché questo fenomeno si produca, bisognerà che oltrepassiamo la linea neutra.

— Oltrepassare la linea neutra! — esclamò Michel. — Allora faremo come i marinai che tagliano l'equatore. Brindiamo al nostro passaggio!

Un leggero movimento di fianco riportò Michel verso la parete imbottita. Là egli prese una bottiglia e i bicchieri, li mise «nello spazio», dinanzi ai suoi amici e, bevendo allegramente, tutti e tre salutarono la linea con un triplice urrà!

Quell'influenza delle attrazioni durò un'ora appena.

Jules Verne, De la Terre à la Lune, trajet direct en 97 heures 20 minutes, Le Journal des Débats (14 Sept. - 14 Oct 1865).

Non è forse inutile sottolineare come il brindisi finale non avrebbe potuto aver luogo -- i liquidi in caduta libera possono rimanere compatti a causa della tensione superficiale,

ma certo non possono essere versati nei bicchieri.

D'altra parte, Jules Verne giustamente sottolinea che il cadavere del cane morto, gettato poi nello spazio, segue il proiettile per tutto il viaggio.

E' possibile anche proporre un facile esperimento di verifica del fatto che tutte le parti di un corpo in caduta libera cessano di premere l'uno contro l'altro, utilizzando una bottiglia di plastica (senza tappo) riempita d'acqua in cui è stato praticato un forellino vicino al fondo. Lasciandola cadere da qualche metro di altezza si vede come il flusso di acqua cessi immediatamente appena inizia la caduta, e che l'acqua non esce neppure dal foro del tappo.  Con un po' di esercizio, si riesce a lanciare la bottiglia in verticale senza farla ruotare, ed anche in questo caso il flusso cessa al momento del lancio. [FARE SCHEDA DI QUESTO ESPERIMENTO]

Tornando ai nostri paperi, dato che il moto dell'ascensore e dei dollari avviene in aria, si dovrebbe tenere conto dell'attrito viscoso, che può influenzare anche la discussione dell'errore n. 3. In caso di moto viscoso, si dovrebbe avere come risultato che l'ascensore viene rallentato rispetto alla caduta libera e quindi i paperi dovrebbero (forse) potersi tenere in piedi.

Errore n. 2

Il secondo errore riguarda il fatto che l'ascensore si separa dalla massa dei dollari.  Se si trascura l'influsso della resistenza dell'aria, non ha senso la separazione dell'ascensore dai dollari, in quanto le forze agenti (la forza di gravità m g) è proporzionale alla massa così come la forza di inerzia (m a). Dall'equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale, ogni oggetto in caduta libera si muove con la stessa accelerazione indipendentemente dalla sua massa.

La cosa può cambiare in presenza dell'aria.  In effetti solo l'attrito dell'aria, introducendo un forza non linearmente dipendente dalla massa è in grado di giustificare una separazione fra ascensore e dollari, ma non è chiaro se un dollaro subisce un attrito minore o maggiore di un ascensore. Dalla figura si può inoltre desumere che i dollari e l'ascensore viaggiano in formazione compatta, trascinando presumibilmente con sé anche l'aria, che quindi non dovrebbe avere molta influenza sul moto.

Errore n. 3

Il terzo errore è un po' più tecnico. In principio è possibile sparare un proiettile con una velocità tale da metterlo in orbita o addirittura farlo uscire dalla gravità terrestre [http://it.wikipedia.org/wiki/Dalla_Terra_alla_Luna]. Anzi, questo avrebbe il grande vantaggio di non dover accelerare anche il combustibile. Per esempio il carico utile del razzo Saturn V (il razzo che ha portato gli uomini sulla

luna) è molto basso: 3000 tonnellate totali  per 118 tonnellate di carico utile in orbita bassa (47 tonnellate per la luna) [http://it.wikipedia.org/wiki/Saturn_V]

La prima velocità cosmica v1 è la velocità che bisogna imprimere ad un proiettile o missile per permettergli di entrare in orbita circolare con raggio minimo. Dall'equilibrio tra forza gravitazionale e forza centrifuga

m v12 / r = G MT  m / r2,

in cui MT ≃ 5,98·1024  kg è la massa terrestre, m la massa del proiettile, r è il raggio dell'orbita, G ≃ 6,67·10-11m3/kg s2 la costante di gravitazione universale, si ottiene, prendendo r = RT ≃ 6,372·106 m, raggio terrestre per un'orbita radente alla superficie, (appena al di sopra dell'atmosfera),

v1 ≃ 8·103 m/s.

D'altra parte, la quantità di polvere da sparo (e la lunghezza della canna) necessaria per imprimere una certa velocità ad un proiettile cresce notevolmente con la velocità del proiettile stesso. Citando da [http://earmi.it/balistica/berta.htm]

Se per 1000 m/s la carica di polvere pesava il 40% del peso del proiettile, per ottenere 1300 m/s occorreva un peso di polvere pari a quello del proiettile.

Il progetto HARP [http://en.wikipedia.org/wiki/Project_HARP] mirava appunto a usare cannoni come lanciatori per oggetto in alta atmosfera, ma non raggiunse mai velocità superiori a meno della metà della velocità v1. Tuttavia, ci sono nuovi progetti del genere in atto [http://www.phy6.org/stargaze/ISHARP.htm] e [http://quicklaunchinc.com/home].

Dal fumetto è evidente che la carica non è abnorme rispetto al contenuto del deposito.

Del resto, possiamo desumere la velocità iniziale vo  dalla stima (errata) fatta dai paperini:

la velocità tangenziale della terra è circa 437 m/s, e per uno spostamento di 80 km si ha un tempo di volo di τ ≃ 183 s. Dato che τ  = 2v0 / g si ottiene v0 ≃ 915 m/s, che noi approssimiamo a 1000 m/s, ben al di sotto della prima velocità cosmica.

La variazione della forza di gravità con l'altezza è trascurabile, per cui nel seguito useremo g costante (e uguale a 10m/s2). Approssimeremo coerentemente τ ≃ 200 s.

Rotazione della terra e sistemi di riferimento non inerziali

Il quarto errore merita una discussione più ampia. La "spiegazione" del paperino è ovviamente sbagliata, ma evidentemente condivisa da parecchi.

I dollari, essendo sparati in verticale, mantengono la stessa velocità tangenziale della terra. Se il movimento potesse essere assimilato ad un moto traslatorio uniforme, i dollari dovrebbero ricadere nello stesso punto. Ma il moto della terra non è traslatorio, così che ci troviamo in un sistema di riferimento accelerato. Prendiamo quindi un sistema di riferimento locale in cui l'asse y sia verticale (con lo zero sulla superficie terrestre), l'asse x vada da est a ovest  e l'asse z  sia perpendicolare a questi due (terra vista dal polo nord). 

Facciamo innanzi tutto i calcoli come se il deposito si trovasse sull'equatore. La rotazione della terra avviene in senso  antiorario con una velocità angolare  ω = 2 π /(24·3600) rad/s ≃ 7,27·10-5 rad/s e per il momento la consideriamo diretta come l'asse z, ovvero ω = ω k.

Le forze "apparenti" in un sistema di riferimento non inerziale sono la forza centrifuga -m ω ⨉ (ω ⨉ r) e la forza di Coriolis -2 m ω ⨉ v.  Come osservato in precedenza, si può trascurare il contributo della forza centrifuga. Rimane quindi il contributo della forza di Coriolis. Impostando le equazioni del moto si ottiene

Integrando l'eq. (1) tra 0 e t, con le condizioni iniziali y(0)=0 ed ẋ(0)=0 cioè dollari sparati in verticale, si ottiene

che è sempre positivo. Quindi effettivamente il proiettile viene spostato dalla rotazione terrestre verso ovest, ma per una ragione diversa da quella ipotizzata. E' probabilmente più facile visualizzare l'effetto in un sistema di riferimento fisso (osservatore inerziale): al momento dello sparo i dollari, oltre alla velocità verticale, hanno una componente orizzontale (tangenziale alla terra) diretta da ovest verso est. Il moto è quasi parabolico, data limitata altezza raggiunta, ma al momento in cui i dollari raggiungono la retta tangente alla terra e passante dal loro punto di lancio, sulla verticale (quasi) del loro punto di partenza, devono ancora "scendere" per un tratto dato che la terra è sferica. Durante questa caduta residua la terra continua a girare e quindi i dollari cadono effettivamente ad ovest.

Calcoliamo precisamente traiettoria e punto di caduta nelle nostre approssimazioni. Sostituendo l'eq. (3) nella (2) si ottiene

ovvero l'equazione di un oscillatore armonico, cosa che può sorprendere un po'. La soluzione con le condizioni iniziali y(0)=0,  ẏ(0) = v0  è

Nel limite ω → 0 si ottiene, sviluppando il seno al primo ordine e il coseno al secondo ordine,

 y(t) ≃ v0 t - 1/2 g t2 ,

come ci aspettavamo.

Sostituendo l'eq.(4) nell'eq. (3) ed integrando con le condizioni iniziali x(0) = ẋ(0) = 0 si ottiene

Possiamo verificare che nel limite ω → 0 si ottiene al primo ordine x(t)=0. Sviluppando al terzo ordine otteniamo correttamente

x(t) ≃ ω (v0 t2 - 1/3 g t3).

Al tempo τ si ha

x(τ) ≃ (4  ω v03) / (3 g2) =1 km,

ovvero una distanza che si può agevolmente percorrere a corsa (anche se senza allenamento probabilmente si arriva senza fiato).

Traiettoria dell’ascensore in assenza (linea tratteggiata) e in presenza (linea continua) di aria, ω = 2π/(24·3600) rad/s ≃ 7.27·10−5 rad/s, g = 10 m/s2, γ = 0.1 kg/s, m = 1000 kg.

Paperopoli però non è sull'equatore. Dato che si trova in California si può pensare che sia più o meno a 37o N. In questo caso si avrà una deviazione verso ovest di soli 765 m.

Si noti che la procedura a prima vista corretta per cui si assume che un proiettile rimanga "indietro" rispetto al punto di sparo della distanza d = ω ∫0τ  y(t) dt, partendo dall'assunto che la velocità tangenziale alla superficie sia minore di quella in quota, porta ad un risultato che è la metà di quello corretto (dato il fattore 2 nella forza di Coriolis) 

Calcolo in presenza di attrito viscoso

Per esercizio possiamo sviluppare il calcolo in presenza di attrito viscoso, proporzionale alla velocità. Dal secondo principio della dinamica

Ricavando ẏ e ÿ dalla prima di queste equazioni e sostituendo nella seconda otteniamo

d3x/dt3+ (γ / m) ẍ =-2 ω g-4  ω2 ẋ -  (γ / m) ẍ - (γ / m)2  ẋ,

con le sostituzioni

Γ = γ / m,

Ω  = √ (4 ω2 + Γ2,

ζ  = ẋ +2 ω  g / Ω2,

si ottiene l'equazione di un moto armonico smorzato

  d2ζ/dt2 +2 Γ dζ/dt+Ω2 ζ=0.

Risolvendo questa equazione con le condizioni iniziali x(0)=0, ẋ (0)=0, ẍ (0)=2 ω v0, si ottiene

 x = 1/ Ω4 {2 ω (2 g Γ + Ω  ^2  v_0) 

- e-Γ t[2 ω (2 g Γ + Ω2 v0) cos(2 ω t) + (g Γ2 +Γ Ω2 v0 - 4 g ω2 ) sin(2 ω t)] - 2 g ω Ω2 t}.

Inserendo la soluzione nell'equazione per ẏ ed integrando si ottiene

y = 1 / Ω4 {(g Γ2 + ΓΩ2v0 - 4 g ω2)

+ e-Γ  t [2 ω (2 g Γ + Ω2 v0) sin(2 ω t) - (g Γ2 + ΓΩ2v0 - 4 g ω2 ) cos(2 ωt)] - g ΓΩ2 t}.

All'ordine zero in ω dà la soluzione del moto in assenza di forza di Coriolis, che si discosta poco dalla soluzione reale.

y =1 / Γ [(v0 +g/Γ )(1-e-Γ t) - g t].

Per corpi di  massa piccola rispetto al coefficiente di attrito (Γ = γ/m grande), la forza di attrito viscoso domina sulla forza di Coriolis anche nel caso del moto lungo l'asse x; l'accelerazione lungo l'asse x sarà perciò nulla. Integrando l'equazione (6) con le condizioni iniziali x(0)=0 ed y(0)=0, possiamo quindi ottenere

x(t) ≃ -(2 m ω / γ) y(t),

e quindi al termine del moto i dollari ricadono quasi esattamente sul punto di partenza.

 Traiettoria dei dollari in presenza di attrito viscoso dell’aria, assumendo m = 0.03 kg.

Si noti che nel caso di moto viscoso la traiettoria è quasi verticale: la scala orizzontale nella figura è di soli 1,4 cm. Inoltre l'altezza massima è molto ridotta, ed il tempo di volo (non indicato) si riduce a circa la metà (τ ≃ 100 s).  Ovviamente si è trascurato il trascinamento dell'aria da parte della massa dei dollari, per cui probabilmente si dovrebbe osservare un notevole sparpagliamento delle monete.

Per l'ascensore, invece, il valore di Γ è molto piccolo, data la grande massa. Prendendo sempre γ = 0,1 kg/s e assumendo m=1000 kg, la traiettoria dell'ascensore non si discosta essenzialmente da quella in assenza di aria (spostamento finale circa 950 m all'equatore). Le traiettorie dell'ascensore calcolate numericamente in assenza e presenza di aria sono riportate nella figura sopra.

Quindi, in presenza di aria, è presumibile che lo scenario sia opposto di quello ipotizzato nel fumetto: l'ascensore devia verso ovest molto più dei dollari.

Franco Bagnoli e Francesco Saverio Cataliotti