La mosca nel bicchiere

Data pubblicazione: Feb 20, 2017 4:32:31 PM

Mi sono imbattuto nel seguente problema (su Yahoo) [1]

Una mosca (peso 5gr) è dentro un bicchiere (100gr) capovolto su una bilancia. Quanto segna la bilancia nei seguenti casi?

Ho estratto alcune risposte, che penso siano tipiche: 

Il problema qui è che la mosca non sembra interagire con la bilancia, essenzialmente perché c'è nel mezzo l'aria che è considerata "troppo molliccia" per comunicare una forza. Se al posto dell'aria ci fosse un filo, e al posto della mosca un ragno che si arrampica sul filo, sono sicuro che le risposte sarebbero diverse. 

Cerchiamo di impostare il problema seguendo la fisica. Il sistema si può schematizzare con una scatola (che comprende il bicchiere e il piatto della bilancia), una molla (la bilancia), la mosca e l'aria. L'ago della bilancia mostra la compressione della molla. Le forze esterne al sistema sono la forza della molla (che agisce sulla scatola) e la forza di gravità (che agisce sulla scatola, sull'aria e sulla mosca). Però l'aria si può anche considerare un mediatore di forza senza peso, vista la sua bassa densità.

Tra mosca e scatola ci sono senz'altro delle forze, dato che altrimenti la mosca cadrebbe (sentirebbe solo la forza di gravità). Possiamo considerare alcune variazioni del problema: 

In tutti questi casi abbiamo delle forze tra la mosca (o il ragno o il disco volante) e la scatola, o tra la mosca e le molecole d'aria (o le palline o i fotoni) e tra queste e la scatola. 

Ora, possiamo generalizzare il problema (come viene fatto nei libri di testo) indicando con mi  le varie masse, ri le loro posizioni e  fi le forze agenti su queste. Le forze fi sono composte dalla somma delle forze esterne fi(e) (la forza peso e le forza tra scatola e molla della bilancia) e forze interne  fi(i)= Σj fij esercitate sul corpo i da tutti gli altri corpi j (sono sempre forze interne al sistema, per esempio tra mosca e molecole d'aria o tra queste e la scatola). Ovviamente abbiamo  fi = mi ai, dove  ai sono le accelerazioni, ovvero le derivare seconde delle posizioni. 

Adesso compaiono i due attori principali: il centro di massa e il principio di azione e reazione. 

Il centro di massa è definito come un punto di massa M=Σi mi e di posizione R tale che MR=Σi mi ri.

Il principio di azione e reazione dice che se un corpo i agisce su un corpo j con una forza fij, allora il corpo j agisce su i con una forza uguale e contraria, ovvero fji=-fij. 

Quindi, se mettiamo tutto insieme, abbiamo che l'accelerazione (A) del centro di massa è tale che 

 MA = Σi mi ai = Σi fi = Σi fi(e)+Σi fi(i) = Σi fi(e)+Σij fij.

Ma l'ultimo termine è nullo a causa del principio di azione e reazione, e quindi abbiamo che il moto del centro di massa è dato solo dalla somma delle forze esterne, che è il motivo per cui il centro di massa di un sistema è un concetto molto utile. Per esempio, per determinare il moto del centro di massa di un oggetto rigido, possiamo semplicemente ignorare le (grandissime) forze interne che tengono il corpo unito. 

Per lo stesso motivo possiamo ignorare le forze tra mosca, molecole di aria e scatola, e considerare semplicemente il moto del centro di massa del sistema scatola-aria-mosca.

Ora, la scatola e l'aria stanno globalmente ferme. In realtà le molecole di aria si muovono, ma il loro centro di massa no. E della mosca conta solo la sua accelerazione. 

Quindi: 

In realtà tra quando la mosca inizia ad accelerare verso l'alto e il momento in cui la bilancia segna la variazione di forza passa il tempo necessario a far sì che l'aria "comunichi" questa variazione alla base, ovvero il tempo necessario perché l'onda di perturbazione dell'aria, viaggiando alla velocità del suono, raggiunga il fondo della scatola. In questo caso la variazione è pressoché istantanea, ma il problema ricorda molto quello della molla slinky [2]. 

Il problema è simile a quello della clessidra sulla bilancia: Una clessidra a sabbia (più propriamente clepsamia) è posta su una bilancia, ed ha un meccanismo a distanza (tramite wifi) di sblocco del flusso di sabbia. A un certo istante la sabbia inizia a scendere, continua finché la clepsamia è quasi vuota e poi cessa. Cosa segna la bilancia nei vari istanti? [3]

Un problema collegato ma molto interessante è il seguente: cosa succede se invece il bicchiere è dritto e la mosca vola ad altezza costante dentro il bicchiere o sopra il bicchiere? 

Ovviamente se la mosca è vicina al fondo, non dovrebbe cambiare nulla e la bilancia segnerà 105 g, ma se la mosca è molto più in alto del bicchiere, ci si aspetta che la bilancia segni 100 g. In questo caso il fatto è che il getto di aria spinto verso il basso dalla mosca a una certa altezza "esce" dal bicchiere e preme sull'ambiente circostante, come si può visualizzare pensando a un disco volante che si regge su un fascio fotonico. 

Nota: 

Un problema simile è quello del furgone pieno di piccioni. Ogni volta che sta per passare su un ponte, il guidatore scende e batte sul lato del cassone. Quando gli viene domandato perché, lui spiega che il furgone è al limite della tolleranza dei ponti, ma essendo pieno di piccioni, lui li spaventa così che volino e non contribuiscano al peso del veicolo. 

Vedere come i MithBusters affrontano la situazione [4]. 

Citazioni

[1] https://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20071114065006AAp7qhV

[2] Quando si fa cadere una molla slinky http://fisicax.complexworld.net/meccanica/la-molla-slinky si vede che l'estremo inferiore della molla non si sposta finché non viene raggiunto dall'estremo superiore (che cade con accelerazione maggiore di g). Il fatto è che le perturbazioni nei materiali viaggiano con la velocità del suono, e questa nella molla slinky è piuttosto bassa. Quindi il moto di caduta dell'estremo superiore diventa rapidamente supersonico e nessuna perturbazione può raggiungere l'estremo inferiore prima dell'arrivo di quello superiore. 

[3] Data una clessidra sulla bilancia, abbiamo che all'inizio della caduta della sabbia c'è una accelerazione del centro di massa verso il basso, quindi la bilancia segna meno del peso della clessidra. Durante la caduta a velocità costante della sabbia la bilancia segna il peso della clessidra. Alla fine abbiamo una brusca frenatura del centro di massa (accelerazione verso l'alto) e quindi la bilancia segnerà più del peso della clessidra. Si pensi a raggruppare tutta la sabbia in un unico blocco...

[4] https://www.youtube.com/watch?v=lVeP6oqH-Qo