La giostra delle stelle

Data pubblicazione: Nov 05, 2020 12:15:55 PM

Ieri uno studente mi ha fatto una domanda molto interessante a proposito della lezione sui sistemi di riferimento accelerati: le stelle viste dalla Terra sembrano girare in cerchio. Ma il moto circolare è un moto accelerato. Quale forza è responsabile dell'accelerazione centripeta delle stelle? 

Vediamo di illustrare il problema anche per quelli che non sono studenti di fisica. Il problema di base è il seguente: le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento o no?

Come aveva già notato Galileo, e poi Newton, ci sono sistemi di riferimento privilegiati, detti inerziali, in cui vale la prima legge di Newton: un corpo non soggetto a forze (o per cui la somma delle forze è zero) rimane in moto rettilineo uniforme, di cui un caso particolare è che rimane fermo. Se invece un corpo è soggetto ad una forza f, viene accelerato con una accelerazione a tale che f=ma, la seconda legge di Newton. E viceversa, se vediamo un oggetto accelerare con accelerazione a, ci dev'essere una forza forza che causa questa accelerazione. Ma un corpo che segue un percorso circolare, anche se a velocità uniforme, è accelerato, perché la velocità cambia sempre di direzione. Se la velocità di rotazione è ω,  la velocità dell'oggetto è ωR (R essendo la sua distanza dall'asse di rotazione) e la sua accelerazione (centripeta, diretta verso l'interno) è ac=ω2R. Per le stelle abbiamo quindi bisogno di una forza mω2R diretta verso la Terra. Ma non può certo essere la forza di gravità. 

Abbiamo parlato di forze, ma bisogna specificare cosa indica esattamente questo termine. Si intendono le forze che si possono attribuire a una interazione, per esempio forze gravitazionali, forze elettromagnetiche, forze dovute ad urti, forze elastiche, forze di attrito, forze vincolari (che poi sono tutte di origine elettromagnetica/quantistica, ma Newton non lo sapeva). In prima approssimazione la Terra è un sistema inerziale (poi vedremo che non è del tutto vero). Ma cos'è un sistema di riferimento inerziale? Un sistema isolato nello spazio?

Vediamo. Ci sono tanti video che mostrano che sulla stazione spaziale internazionale un oggetto "galleggia" senza peso o, se lanciato, segue un percorso rettilineo.

Ma l'unica forza "fisica" che agisce sugli oggetti e le persone nella stazione spaziale internazionale (ISS) è la gravità (vedere "cadere con stile"). Il fatto è che se la Terra approssima un sistema inerziale, la ISS non può esserlo, dato che vi gira intorno. E tutti sappiamo che quando prendiamo una curva in auto, sentiamo una "forza" che ci spinge verso l'esterno (la forza centrifuga). I motociclisti e i ciclisti devono inclinarsi in curva in modo che il loro peso "compensi" appunto la forza centrifuga. La ISS viaggia intorno alla Terra a una velocità opportuna, in modo che la forza centrifuga bilanci esattamente la forza di gravità, e in questo modo tutto lì sopra sembra "senza peso". 

Newton risolve il problema di cosa è un sistema inerziale prendendone uno privilegiato, il "sistema delle stelle fisse", e tutti quelli in moto rettilineo uniforme rispetto a questo. Eh, sì, perché già Galileo aveva mostrato nei suoi dialoghi che tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro sono equivalenti, nel senso che non possono fare esperimenti per capire se il sistema è fermo o in moto (anche se in realtà Galileo pensava che fosse il moto circolare uniforme, quello dei pianeti, quello "naturale" in assenza di forze).

A parte il fatto che le stelle visibili ruotano nella Via Lattea (la nostra galassia) e che questa si muove rispetto ad altri, questi movimenti sono abbastanza lenti da poterli trascurare. Ma la Terra ruota intorno a se stessa e intorno al Sole, quindi non è veramente un sistema inerziale, e infatti da terra noi vediamo le stelle ruotare. 

Per fortuna, però, è possibile continuare ad usare le leggi della fisica anche nei sistemi accelerati (rispetto a quelli inerziali), dobbiamo "solo" introdurre delle forze dette "apparenti" (anche se sono realissime) o "inerziali". Cominciamo con quelle più semplici. 

Se siamo a sedere su una automobile che accelera, sentiamo una forza che ci preme sul sedile. Se l'auto decelera, ci sentiamo proiettati verso il parabrezza (e se non indossiamo le cinture ci possiamo fare molto male). Quindi, se il nostro sistema di riferimento ha una accelerazione lineare A, sentiamo una forza -mA, dove m è la nostra massa, in questa maniera possiamo ottenere gli stessi risultati scrivendo f=ma sia nel sistema inerziale che in quello accelerato. Se siamo seduti su una giostra e questa sta accelerando o decelerando, sentiamo una forza simile. Ma se il sistema di riferimento ruota a velocità costante? 

Consideriamo cosa succede ad un lanciatore di peso. 

Mentre ruota, il lanciatore deve bilanciare una forza che tende a strappargli il peso dalle mani. Facendo i calcoli si vede che questa forza vale mω2R, diretta verso l'esterno, dove ω  è la velocità di rotazione e R la distanza del corpo m dall'asse del movimento. 

Ma non è tutto. In un sistema di riferimento ruotante appare anche una forza che devia i corpi in movimento, la forza di Coriolis. 

I calcoli mostrano che per riprodurre la deviazione vista nel sistema di riferimento ruotante, la forza di Coriolis deve valere 2mωv sin(θ), dove v è la velocità dell'oggetto nel sistema di riferimento ruotante e θ è l'angolo tra l'asse di rotazione e v. 

Abbiamo adesso tutti gli elementi necessari. Le stelle appaiono ruotare con una velocità angolare ω, quindi, nel nostro sistema di riferimento terrestre, sono soggette ad una forza centrifuga mω2R che ha proprio il valore richiesto, ma purtroppo è diretta verso l'esterno, mentre abbiamo bisogno di una forza centripeta. 

Per fortuna c'è la forza di Coriolis. Le stelle hanno una velocità tangenziale (apparente) v=ωR, quindi sono soggette ad una forza di Coriolis 2mω2R che, facendo i conti, viene diretta verso l'interno. Il fattore 2 è qui essenziale: metà della forza di Coriolis annulla la forza centrifuga, e la metà rimanente dà proprio l'accelerazione centripeta richiesta.